Considere os subespaços U=[(-1,0,-2),(0,2,7),(3,4,17)] e W=(x, y, z) in R^3: x-y+2 z= 0 de R^3. Determine:
W+U.

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de R^3:
bul<=t U=span(-1,0,-2),(0,2,7),(3,4,17).
bul<=t W=(x,y,z)inR^3 : x - y + 2z=0.
Pede-se W+U, que é o subespaço gerado por todos os vetores de W e de U.
Para isso, vamos usar conceitos de dimensão e soma direta de subespaços.

Passo 2

Calcular a dimensão de
Procuramos escalares tais que
Isso gera o sistema
Da primeira equação vem . Substituindo na terceira:
logo . Portanto são LI e .

Passo 3

Como dim U=3 em R^3, segue que
U=R^3

Passo 4

A soma de subespaços satisfaz
W + U = W + R^3 = R^3
Em outras palavras, qualquer vetor de R^3 já está em U, então somar W não amplia o espaço além de R^3.

Resposta

W+U = R^3.

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