Sobre a teoria de espaços vetoriais:
Considere V=R^4 e S=(7,4,10,5),(1,1,-2,7),(3,5,9,9) verifique se S é um conjunto de vetores L.D…

Passo 1

Temos o espaço vetorial V=R^4 e o conjunto de três vetores
v1=(7,4,10,5), v2=(1,1,-2,7), v3=(3,5,9,9)
Para verificar se S=v1,v2,v3 é linearmente dependente (L.D.), vamos montar a combinação linear
a,v1+b,v2+c,v3=0
e ver se existe solução \emph{não trivial} (a,b,c)neq(0,0,0).

Passo 2

Escrevendo componente a componente obtemos o sistema
7a + b + 3c = 0, 4a + b + 5c = 0, 10a -2b +9c = 0, 5a +7b +9c = 0
Nosso objetivo é mostrar que só a solução trivial a=b=c=0 satisfaz tudo.

Passo 3

Subtraindo a primeira equação da segunda:
(4a+b+5c)-(7a+b+3c)=0Longrightarrow -3a + 2c =0 Longrightarrow c=tfrac32a
Substituindo em 7a + b +3c=0
7a + b +3l(tfrac32ar)=0 Longrightarrow 7a + b + tfrac92a=0 Longrightarrow b=-tfrac232a

Passo 4

Agora plugamos b=-tfrac232a e c=tfrac32a em, por exemplo,
10a -2b +9c=0:
10a -2l(-tfrac232ar) +9l(tfrac32ar) =10a +23a +13,5a =46,5a =0 Longrightarrow a=0
Se a=0 então b=0 e c=0. Não há solução não trivial.

Passo 5

Como a única solução da combinação linear é a=b=c=0, concluímos que os vetores são \emph{linearmente independentes}.

Resposta

O conjunto S não é L.D.; na verdade é linearmente independente em R^4.

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