Seja V=M2(R), considere os conjunto W1=A in M2(R): A=A^t e W2=B in M2(R): B=-B^t.
É correto afirmar que V=W1 oplus W2 ? Qual o significado disso?

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = M2(R), o subespaço
W1 = Ain M2(R) : A = A^t
das matrizes simétricas e
W2 = Bin M2(R) : B = -B^t
das matrizes antissimétricas. Queremos verificar se
V = W1 oplus W2,
isto é, se todo vetor de V pode ser escrito como soma de um elemento de W1 e um de W2 e se essa escrita é única.

Passo 2

Para mostrar que W1+W2=V, seja Ain V. Definimos
S = A + A^t2 e K = A - A^t2
Então
S^t = A^t + A2 = S e K^t = A^t - A2 = -K,
logo Sin W1, Kin W2 e
A = S + K
Isso prova W1+W2=V.

Passo 3

Agora mostramos que W1cap W2=0. Se Xin W1cap W2 então X^t=X e X^t=-X. Logo
X = -X Longrightarrow 2X = 0 Longrightarrow X = 0
Portanto a interseção é somente o vetor nulo.

Passo 4

Como W1+W2=V e W1cap W2=0, concluímos
V = W1 oplus W2
Isto significa que cada matriz Ain M2(R) pode ser escrita de modo único como soma de uma matriz simétrica e de uma matriz antissimétrica.

Resposta

Sim. A igualdade
V = W1 oplus W2
significa que todo Ain M2(R) tem decomposição única
A = underbraceA + A^t2simétrica + underbraceA - A^t2antissimétrica éé

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