Seja
, considere os conjunto
e
.
É correto afirmar que
? Qual o significado disso?
É correto afirmar que
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
, o subespaço
das matrizes simétricas e
das matrizes antissimétricas. Queremos verificar se
isto é, se todo vetor de
pode ser escrito como soma de um elemento de
e um de
e se essa escrita é única.
Passo 2
Para mostrar que
, seja
. Definimos
Então
logo
,
e
Isso prova
.
Passo 3
Agora mostramos que
. Se
então
e
. Logo
Portanto a interseção é somente o vetor nulo.
Passo 4
Como
e
, concluímos
Isto significa que cada matriz
pode ser escrita de modo único como soma de uma matriz simétrica e de uma matriz antissimétrica.
Resposta
Sim. A igualdade
significa que todo
tem decomposição única