Sobre a teoria de espaços vetoriais:
Defina e exemplifique combinação linear de vetores
.
Defina e exemplifique combinação linear de vetores
Passo 1
O enunciado pede para definir o que é combinação linear de vetores
em um espaço vetorial e dar exemplos. Vamos usar a estrutura de espaços vetoriais, operações de soma de vetores e multiplicação por escalar.
Passo 2
Em um espaço vetorial, temos um conjunto de vetores e um corpo de escalares. Dados vetores
e escalares
, uma combinação linear desses vetores é a soma ponderada pelos escalares:
Isso usa diretamente as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar definidas no espaço.
Passo 3
Escrevendo de forma genérica, dizemos que um vetor
é combinação linear de
se existirem escalares
tais que
Passo 4
Exemplos:
Em
, sejam
e
. Então qualquer vetor
em
se escreve como
No espaço de polinômios
(grau até 2), tomemos
,
,
. Qualquer polinômio
é combinação linear:
Resposta
Uma combinação linear de vetores
em um espaço vetorial é qualquer vetor da forma
onde
são escalares.
Por exemplo, em
com
e
,
No espaço
de polinômios de grau até 2, com
,
,
, qualquer
é