Sobre a teoria de espaços vetoriais:
Defina e exemplifique combinação linear de vetores v1, ldots, vn.

Passo 1

O enunciado pede para definir o que é combinação linear de vetores v1,dots,vn em um espaço vetorial e dar exemplos. Vamos usar a estrutura de espaços vetoriais, operações de soma de vetores e multiplicação por escalar.

Passo 2

Em um espaço vetorial, temos um conjunto de vetores e um corpo de escalares. Dados vetores v1,dots,vn e escalares alpha1,dots,alphan, uma combinação linear desses vetores é a soma ponderada pelos escalares:
alpha1v1+alpha2v2+cdots+alphanvn
Isso usa diretamente as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar definidas no espaço.

Passo 3

Escrevendo de forma genérica, dizemos que um vetor w é combinação linear de v1,dots,vn se existirem escalares alpha1,dots,alphan tais que
w = alpha1v1 + alpha2v2 + dots + alphanvn

Passo 4

Exemplos:
Em R^2, sejam v1=(1,0) e v2=(0,1). Então qualquer vetor (a,b) em R^2 se escreve como
(a,b) = a,(1,0) + b,(0,1)
No espaço de polinômios P2 (grau até 2), tomemos p1(x)=1, p2(x)=x, p3(x)=x^2. Qualquer polinômio
q(x)=c + b,x + a,x^2
é combinação linear:
q(x) = c,p1(x) + b,p2(x) + a,p3(x)

Resposta

Uma combinação linear de vetores v1,dots,vn em um espaço vetorial é qualquer vetor da forma
alpha1v1+alpha2v2+cdots+alphanvn,
onde alpha1,dots,alphan são escalares.
Por exemplo, em R^2 com v1=(1,0) e v2=(0,1),
(a,b) = a,(1,0) + b,(0,1)
No espaço P2 de polinômios de grau até 2, com p1(x)=1, p2(x)=x, p3(x)=x^2, qualquer
q(x)=c + b,x + a,x^2
é
q(x) = c,p1(x) + b,p2(x) + a,p3(x)

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