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JUSTIFIQUE TODAS AS RESPOSTAS!!!
Seja a transformação linear dada por .
A matriz é diagonalizável? Justifique!
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é descobrir se a matriz que representa essa transformação é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes, transformações lineares, autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz que representa a transformação . Como mapeia em , será uma matriz . Cada coluna de corresponde à imagem dos vetores da base canônica sob a transformação .
Passo 3
Vamos calcular as imagens dos vetores da base canônica , , e :
Passo 4
Com isso, a matriz fica:
Passo 5
Agora, para verificar se A é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovalores e verificar se existe um conjunto completo de autovetores linearmente independentes.
Passo 6
Os autovalores de A são encontrados resolvendo o polinômio característico det(A - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade.
Somando as dimensões dos espaços dos autovetores: 2 + 1 = 3 . Como essa soma é menor que o dimensões da matriz 4 , então A não possui um conjunto completo de autovetores linearmente independentes.
Resposta
A matriz A não é diagonalizável, pois não possui um conjunto completo de autovetores linearmente independentes.