Nome Legível:
JUSTIFIQUE TODAS AS RESPOSTAS!!!
Seja T: R^4 R^4 a transformação linear dada por T(x, y, z, t)=(-x+3 t, x-y,-z, 2 t).
A matriz A é diagonalizável? Justifique!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma transformação linear T: R^4 R^4 definida por T(x, y, z, t) = (-x + 3t, x - y, -z, 2t) . Nosso objetivo é descobrir se a matriz A que representa essa transformação é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes, transformações lineares, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz A que representa a transformação T . Como T mapeia R^4 em R^4 , A será uma matriz 4 times 4 . Cada coluna de A corresponde à imagem dos vetores da base canônica sob a transformação T .

Passo 3

Vamos calcular as imagens dos vetores da base canônica e1 = (1, 0, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0, 0) , e3 = (0, 0, 1, 0) e e4 = (0, 0, 0, 1) :
  • T(e1) = T(1, 0, 0, 0) = (-1 + 0, 1 - 0, 0, 0) = (-1, 1, 0, 0)
  • T(e2) = T(0, 1, 0, 0) = (0 + 0, 0 - 1, 0, 0) = (0, -1, 0, 0)
  • T(e3) = T(0, 0, 1, 0) = (0 + 0, 0 - 0, -1, 0) = (0, 0, -1, 0)
  • T(e4) = T(0, 0, 0, 1) = (0 + 3, 0 - 0, 0, 2) = (3, 0, 0, 2)

Passo 4

Com isso, a matriz A fica:
A = -1 & 0 & 0 & 3 1 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 2

Passo 5

Agora, para verificar se A é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovalores e verificar se existe um conjunto completo de autovetores linearmente independentes.

Passo 6

Os autovalores de A são encontrados resolvendo o polinômio característico det(A - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade.
det(A - lambda I) = det -1 - lambda & 0 & 0 & 3 1 & -1 - lambda & 0 & 0 0 & 0 & -1 - lambda & 0 0 & 0 & 0 & 2 - lambda

Passo 7

Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = (-1 - lambda) cdot det -1 - lambda & 0 & 0 0 & -1 - lambda & 0 0 & 0 & 2 - lambda - 0 + 0 - 3 cdot det 1 & -1 - lambda & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 - lambda
Após simplificar, obtemos os autovalores lambda1 = -1 com multiplicidade 3 e lambda2 = 2 com multiplicidade 1.

Passo 8

Agora, para cada autovalor, vamos encontrar os autovetores correspondentes resolvendo (A - lambda I)v = 0 .
Para lambda = -1 :
(A + I)v = 0 & 0 & 0 & 3 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 3 v = 0
Resolvendo, encontramos uma dimensão de 2 para o espaço dos autovetores correspondentes a lambda = -1 .
Para lambda = 2 :
(A - 2I)v = -3 & 0 & 0 & 3 1 & -3 & 0 & 0 0 & 0 & -3 & 0 0 & 0 & 0 & 0 v = 0
Aqui, o espaço dos autovetores tem dimensão 1.

Passo 9

Somando as dimensões dos espaços dos autovetores: 2 + 1 = 3 . Como essa soma é menor que o dimensões da matriz 4 , então A não possui um conjunto completo de autovetores linearmente independentes.

Resposta

A matriz A não é diagonalizável, pois não possui um conjunto completo de autovetores linearmente independentes.

Exercícios relacionados