Seja e uma base para V.
Encontre as coordenadas de uma matriz genérica A=(ccx & y z & w) em relação à base beta (respeitando a ordem com que os vetores aparecem).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá um espaço vetorial V = M2(R) , que é o conjunto de todas as matrizes 2 times 2 com entradas reais. Também nos fornece uma base beta composta por quatro matrizes específicas. O objetivo é encontrar as coordenadas de uma matriz genérica A = x & y z & w em relação a essa base beta . Para isso, vamos precisar entender como representar uma matriz como uma combinação linear das matrizes da base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em termos simples, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) que são lineares e que podem gerar qualquer elemento do espaço através de combinações lineares. Ou seja, qualquer matriz A em V pode ser escrita como uma soma ponderada das matrizes da base beta .
Passo 3
Vamos escrever a matriz A como uma combinação linear das matrizes da base beta . Se chamarmos as matrizes da base de B1, B2, B3, B4 , temos:
A = c1 B1 + c2 B2 + c3 B3 + c4 B4
Onde c1, c2, c3, c4 são os coeficientes que precisamos encontrar para expressar A nessa base.