Seja V=M2(R) e beta=(ll1 & 1 1 & 0),(ll1 & 1 0 & 0),(ll0 & 1 1 & 0),(ll0 & 1 0 & 1) uma base para V.
Encontre as coordenadas de uma matriz genérica A=(ccx & y z & w) em relação à base beta (respeitando a ordem com que os vetores aparecem).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um espaço vetorial V = M2(R) , que é o conjunto de todas as matrizes 2 times 2 com entradas reais. Também nos fornece uma base beta composta por quatro matrizes específicas. O objetivo é encontrar as coordenadas de uma matriz genérica A = x & y z & w em relação a essa base beta . Para isso, vamos precisar entender como representar uma matriz como uma combinação linear das matrizes da base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em termos simples, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) que são lineares e que podem gerar qualquer elemento do espaço através de combinações lineares. Ou seja, qualquer matriz A em V pode ser escrita como uma soma ponderada das matrizes da base beta .

Passo 3

Vamos escrever a matriz A como uma combinação linear das matrizes da base beta . Se chamarmos as matrizes da base de B1, B2, B3, B4 , temos:
A = c1 B1 + c2 B2 + c3 B3 + c4 B4
Onde c1, c2, c3, c4 são os coeficientes que precisamos encontrar para expressar A nessa base.

Passo 4

Vamos identificar as matrizes da base beta :
B1 = 1 & 1 1 & 0 , B2 = 1 & 1 0 & 0 , B3 = 0 & 1 1 & 0 , B4 = 0 & 1 0 & 1
Substituindo na equação da combinação linear:
x & y z & w = c1 1 & 1 1 & 0 + c2 1 & 1 0 & 0 + c3 0 & 1 1 & 0 + c4 0 & 1 0 & 1

Passo 5

Vamos executar a combinação linear:
x & y z & w = c1 + c2 & c1 + c2 + c3 + c4 c1 + c3 & c4
Agora, igualamos os elementos correspondentes das matrizes:
x = c1 + c2 y = c1 + c2 + c3 + c4 z = c1 + c3 w = c4

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações para encontrar c1, c2, c3, c4 :
  1. Da quarta equação: c4 = w
  2. Da terceira equação: c3 = z - c1
  3. Da primeira equação: c2 = x - c1
  4. Substituindo c3 e c4 na segunda equação:
y = c1 + (x - c1) + (z - c1) + w
y = x + z - c1 + w
c1 = x + z + w - y
Agora, podemos encontrar os outros coeficientes:
c2 = x - (x + z + w - y) = -z - w + y
c3 = z - (x + z + w - y) = -x - w + y
c4 = w

Resposta

As coordenadas da matriz A = x & y z & w em relação à base beta são:
c1 c2 c3 c4 = x + z + w - y -y + z + w -y + x + w w

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