Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.
lx1+x2+x3+x4=0 x1+x2+x3-x4=4 x1+x2-x3+x4=-4 x1-x2+x3+x4=2

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear
x1+x2+x3+x4=0, x1+x2+x3-x4=4, x1+x2-x3+x4=-4, x1-x2+x3+x4=2,
e pede para montar a matriz ampliada, reduzi-la à forma escada, encontrar o posto da matriz de coeficientes A, o posto da ampliada [Amid b] e, se houver solução, o número de graus de liberdade.

Passo 2

A matriz ampliada é
1 & 1 & 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 & -1 & 4 1 & 1 & -1 & 1 & -4 1 & -1 & 1 & 1 & 2

Passo 3

Fazendo Ri Ri - R1 para i=2,3,4 obtemos
1 & 1 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -2 & 4 0 & 0 & -2 & 0 & -4 0 & -2 & 0 & 0 & 2

Passo 4

Trocamos R2 com R4 para trazer o próximo pivô na coluna 2 e em seguida escalonamos cada linha para fazer o pivô igual a 1:
1 & 1 & 1 & 1 & 0 0 & -2 & 0 & 0 & 2 0 & 0 & -2 & 0 & -4 0 & 0 & 0 & -2 & 4 ;longrightarrow; 1 & 1 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 0 & 1 & -2

Passo 5

A forma escada final tem pivôs nas colunas 1, 2, 3 e 4, logo
rank(A)=4 e rank([Amid b])=4.
Isso significa que o sistema é possível e determinado, sem graus de liberdade ( 4-4=0).
Pela retrossubstituição:
x4=-2, x3=2, x2=-1, x1=1

Resposta

A forma escada da matriz ampliada é
1 & 1 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 0 & 1 & -2
rank(A)=4
rank([Amid b])=4
Grau de liberdade 0
Solução única (x1,x2,x3,x4)=(1,-1,2,-2)

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