Sejam u, u2, u3, v2 e v3 vetores tais que alpha=u, u2, u3 e beta=u, v2, v3 são bases de um espaço vetorial V. Sabe-se que u2=v2-v3 e u3=v2-2 v3.
Encontre a matriz de mudança de base de alpha para beta.

Passo 1

Vamos lá! Temos um exercício sobre mudança de base em espaços vetoriais. Nele, temos duas bases, alpha = u, u2, u3 e beta = u, v2, v3, e queremos encontrar a matriz que faz a transição de uma base para a outra. Para resolver isso, vamos precisar saber como expressar os vetores de uma base na outra e usar conceitos de coordenação de vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a matriz de mudança de base de alpha para beta transforma as coordenadas de um vetor em relação à base alpha para suas coordenadas em relação à base beta. Para construir essa matriz, vamos expressar cada vetor da base alpha em termos dos vetores da base beta.

Passo 3

Sabemos que u está presente em ambas as bases alpha e beta. Portanto, u já está na forma desejada, ou seja:
u = 1cdotu + 0cdotv2 + 0cdotv3
Isso nos dá os primeiros elementos da nossa matriz de mudança de base.

Passo 4

Agora, vamos expressar u2 em termos de v2 e v3. A equação dada é:
u2 = v2 - v3
Isso significa que:
u2 = 0cdotu + 1cdotv2 + (-1)cdotv3
Esses coeficientes serão a segunda coluna da nossa matriz.

Passo 5

De forma similar, vamos expressar u3 em termos de v2 e v3. A equação dada é:
u3 = v2 - 2v3
Assim:
u3 = 0cdotu + 1cdotv2 + (-2)cdotv3
Esses valores formam a terceira coluna da matriz.

Resposta

A matriz de mudança de base de alpha para beta é:
1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & -1 & -2

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