Sejam
e
vetores tais que
e
são bases de um espaço vetorial
. Sabe-se que
e
.
Encontre a matriz de mudança de base de
para
.
Encontre a matriz de mudança de base de
Passo 1
Vamos lá! Temos um exercício sobre mudança de base em espaços vetoriais. Nele, temos duas bases,
e
, e queremos encontrar a matriz que faz a transição de uma base para a outra. Para resolver isso, vamos precisar saber como expressar os vetores de uma base na outra e usar conceitos de coordenação de vetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a matriz de mudança de base de
para
transforma as coordenadas de um vetor em relação à base
para suas coordenadas em relação à base
. Para construir essa matriz, vamos expressar cada vetor da base
em termos dos vetores da base
.
Passo 3
Sabemos que
está presente em ambas as bases
e
. Portanto,
já está na forma desejada, ou seja:
Isso nos dá os primeiros elementos da nossa matriz de mudança de base.
Passo 4
Agora, vamos expressar
em termos de
e
. A equação dada é:
Isso significa que:
Esses coeficientes serão a segunda coluna da nossa matriz.
Passo 5
De forma similar, vamos expressar
em termos de
e
. A equação dada é:
Assim:
Esses valores formam a terceira coluna da matriz.
Resposta
A matriz de mudança de base de
para
é: