Considere os subespaços U=[(1,1,1)] e V=[(2,0,0),(0,0,3)] do R^3. Determine:
Os subespaços U cap V e U+V.

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de R^3:
U=[(1,1,1)], ou seja, o subespaço gerado por (1,1,1), e
V=[(2,0,0),(0,0,3)], o subespaço gerado por (2,0,0) e (0,0,3).
Precisamos encontrar a interseção Ucap V e a soma U+V. Usaremos parametrização de subespaços e a fórmula de dimensão para soma de subespaços.

Passo 2

Parametrizamos U e V:
— Qualquer vetor de U tem a forma
(t,t,t), tinR
— Qualquer vetor de V é combinação linear de (2,0,0) e (0,0,3), logo
(2alpha,0,3beta)=(a,0,c), a,cinR

Passo 3

Para achar Ucap V, buscamos vetores iguais em ambas as parametrizações. Se
(t,t,t)=(a,0,c),
então t=0 pela segunda coordenada, e daí a=0, c=0. Logo o único vetor comum é o zero.
Portanto
Ucap V=(0,0,0)

Passo 4

Usamos a fórmula de dimensão para a soma de subespaços:
dim(U+V)=dim(U)+dim(V)-dim(Ucap V)
Como dim(U)=1, dim(V)=2 e dim(Ucap V)=0, temos
dim(U+V)=1+2-0=3
Um subespaço de R^3 de dimensão 3 é todo o R^3. Assim
U+V=R^3

Resposta

Ucap V=(0,0,0)
U+V=R^3

Exercícios relacionados