Considere os subespaços
e
do
. Determine:
Os subespaços
e
.
Os subespaços
Passo 1
O enunciado define dois subespaços de
:
, ou seja, o subespaço gerado por
, e
, o subespaço gerado por
e
.
Precisamos encontrar a interseção e a soma
. Usaremos parametrização de subespaços e a fórmula de dimensão para soma de subespaços.
Precisamos encontrar a interseção
Passo 2
Parametrizamos
e
:
— Qualquer vetor de tem a forma
— Qualquer vetor de
— Qualquer vetor de
é combinação linear de
e
, logo
Passo 3
Para achar
, buscamos vetores iguais em ambas as parametrizações. Se
então
pela segunda coordenada, e daí
,
. Logo o único vetor comum é o zero.
Portanto
Portanto
Passo 4
Usamos a fórmula de dimensão para a soma de subespaços:
Como
,
e
, temos
Um subespaço de
de dimensão 3 é todo o
. Assim