Sejam u, u2, u3, v2 e v3 vetores tais que alpha=u, u2, u3 e beta=u, v2, v3 são bases de um espaço vetorial V. Sabe-se que u2=v2-v3 e u3=v2-2 v3.
Encontre a matriz de mudança de base de beta para alpha e, a partir desta matriz, obtenha [v]alpha sabendo que v=u+v2+2 v3.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de V:
alpha = u,,u2,,u3 e
beta = u,,v2,,v3,
com as relações
u2 = v2 - v3, u3 = v2 - 2v3
Queremos a matriz de mudança de base de beta para alpha, isto é, a matriz P tal que
[x]alpha ;=; P,[x]beta,
e em seguida calcular [v]alpha para
v = u + v2 + 2v3.
Usaremos álgebra de sistemas lineares para expressar v2,v3 em função de u2,u3.

Passo 2

Das equações
u2 = v2 - v3, u3 = v2 - 2v3,
subtraindo a segunda da primeira obtemos
u2 - u3 = (v2-v3) - (v2-2v3) = v3,
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v3 = u2 - u3
Substituindo em u2 = v2 - v3
v2 = u2 + v3 = u2 + (u2 - u3) = 2u2 - u3

Passo 3

Em coordenadas na base alpha:
u = 1u + 0u2 + 0u3,
v2 = 0u + 2u2 - 1u3,
v3 = 0u + 1u2 - 1u3.
Portanto a matriz de mudança de base de beta para alpha é
P = l[,;,r]betatoalpha = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 0 & -1 & -1 ,
cuja j-ésima coluna são as coordenadas de betaj em alpha.

Passo 4

Como v = 1u + 1v2 + 2v3, temos
[v]beta = 112,
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[v]alpha = P,[v]beta = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 0 & -1 & -1 112 = 1 2cdot1 + 1cdot2 -1cdot1 -1cdot2 = 14-3

Resposta

A matriz de mudança de base de beta para alpha é
P = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 0 & -1 & -1 ,
e
[v]alpha = 14-3

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