Considere os subespaços de M2(R) :
U=[ll a & b 0 & c ]: a, b, c in R, W=[ll d & 0 e & f ]: d, e, f in R
Encontre bases para U+W e U cap W.

Passo 1

Resumindo o enunciado: no espaço M2(R) temos os subespaços
U = la & b 0 & c:a,b,cinRr, W = ld & 0 e & f:d,e,finRr
O objetivo é encontrar bases de U+W e de Ucap W. Vamos usar descrição por geradores (spans) e condições de igualdade de entradas para achar a interseção e a soma.

Passo 2

Expressar U e W como spans de matrizes canônicas. Cada elemento de U pode ser escrito como
a & b 0 & c = a1 & 0 0 & 0 + b0 & 1 0 & 0 + c0 & 0 0 & 1,
logo
U = spanE11,,E12,,E22
De modo análogo, cada elemento de W é
d & 0 e & f = d,E11 + e,E21 + f,E22,
portanto
W = spanE11,,E21,,E22

Passo 3

Determinar Ucap W. Uma matriz
X=x & y z & w
pertence a U se z=0 e a W se y=0. Logo em Ucap W temos y=0 e z=0 simultaneamente, restando
X=x & 0 0 & w = x,E11 + w,E22
Portanto
Ucap W = spanE11,,E22

Passo 4

Determinar U+W. Como
U+W = spanE11,E12,E22 + spanE11,E21,E22,
o conjunto gerador de U+W contém
E11,,E12,,E21,,E22,
que são quatro matrizes linearmente independentes em M2(R). Logo
U+W = M2(R) = spanE11,,E12,,E21,,E22

Resposta

Base de Ucap W: E11,,E22.
Base de U+W: E11,,E12,,E21,,E22.

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