Mostre que as funções f(x)=e^x, g(x)=e^2 x, e h(x)=e^3 x são linearmente independentes em C(R).

Passo 1

O enunciado quer mostrar que as funções
f(x)=e^x, g(x)=e^2x, h(x)=e^3x
são linearmente independentes em C(R). Isto significa que, se existir uma combinação linear
a,f(x)+b,g(x)+c,h(x)=0forall xinR,
devemos concluir que a=b=c=0.

Passo 2

Suponha que existam constantes a,b,c tais que
a,e^x+b,e^2x+c,e^3x=0
para todo xinR. Nosso objetivo é provar que isso força a=b=c=0.

Passo 3

Como e^xneq0 para todo x, podemos dividir a combinação por e^x sem alterar a igualdade. Assim obtemos
a + b,e^x + c,e^2x = 0 forall xinR
Definindo t = e^x, que varia em (0,infty), isso vira
a + b,t + c,t^2 = 0 forall t>0

Passo 4

A expressão
P(t)=a + b,t + c,t^2
é um polinômio de grau no máximo 2 que se anula para infinitos valores de t. A única forma de um polinômio de grau <=2 ter infinitas raízes é ser o polinômio nulo, logo
a=0, b=0, c=0
Isso mostra que a única combinação linear que dá zero é a trivial.

Resposta

As funções e^x,e^2x,e^3x são linearmente independentes em C(R).

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