Mostre que as funções
, e
são linearmente independentes em
.
Passo 1
O enunciado quer mostrar que as funções
são linearmente independentes em
. Isto significa que, se existir uma combinação linear
devemos concluir que
.
Passo 2
Suponha que existam constantes
tais que
para todo
. Nosso objetivo é provar que isso força
.
Passo 3
Como
para todo
, podemos dividir a combinação por
sem alterar a igualdade. Assim obtemos
Definindo
, que varia em
, isso vira
Passo 4
A expressão
é um polinômio de grau no máximo
que se anula para infinitos valores de
. A única forma de um polinômio de grau
ter infinitas raízes é ser o polinômio nulo, logo
Isso mostra que a única combinação linear que dá zero é a trivial.
Resposta
As funções
são linearmente independentes em
.