Seja B=v1, v2, v3 uma base de R^3. Se [u]B=(1,2,3) e [w]B=(4,5,6), encontre as coordenadas de 2 u-3 w em relação a B.

Passo 1

O enunciado diz que B=v1,v2,v3 é uma base de R^3 e que os vetores u e w têm coordenadas em relação a B dadas por
[u]B = (1,2,3), [w]B = (4,5,6)
Ele pede as coordenadas de 2u - 3w em relação à mesma base B. Para isso, usamos a propriedade de linearidade das coordenadas em uma base: se x,y são vetores e alpha,beta escalares, então
[alpha x + beta y]B = alpha,[x]B + beta,[y]B

Passo 2

Aplicamos a propriedade de linearidade ao vetor 2u - 3w:
[2u - 3w]B = 2,[u]B - 3,[w]B

Passo 3

Substituímos os vetores coordenados conhecidos:
2,[u]B - 3,[w]B = 2,(1,2,3) - 3,(4,5,6)

Passo 4

Calculamos componente a componente:
2,(1,2,3) = (2,4,6), 3,(4,5,6) = (12,15,18),
portanto
(2,4,6) - (12,15,18) = (2-12,,4-15,,6-18) = (-10,,-11,,-12)

Resposta

As coordenadas de 2u - 3w em relação à base B são
[,2u - 3w,]B = (-10,,-11,,-12)

Exercícios relacionados