Seja beta=1+x, 1-x, x^2 uma base de P2(R). Encontre as coordenadas do polinômio p(x)=2+3 x+4 x^2 em relação a beta.

Passo 1

O enunciado nos dá a base
beta = ,1+x,;1-x,;x^2
do espaço P2(R) e pede as coordenadas do polinômio
p(x)=2+3x+4x^2
em relação a beta.
O conteúdo aqui é combinação linear: vamos escrever p como
p(x)=a,(1+x)+b,(1-x)+c,x^2
e determinar a, b e c.

Passo 2

Expandindo a combinação linear, obtemos
a,(1+x)+b,(1-x)+c,x^2 =(a+b)+(a-b),x + c,x^2

Passo 3

Para que isso seja igual a 2+3x+4x^2, igualamos coeficientes de cada potência de x:
a+b=2, a-b=3, c=4

Passo 4

Resolvendo o sistema
a+b=2, a-b=3,
somamos as duas equações para achar 2a=5, logo
a=52,
e daí
b=2 - a = 2 - 52 = -12
Já tínhamos c=4.

Resposta

As coordenadas de p(x) na base beta são
l[a,b,cr] =l(tfrac52,,-tfrac12,,4r)

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