Considere os subespaços de R^3 :
U=(a, b, c) mid a=b=c e W=(a, b, c) mid a+b=0
Encontre U+W e U cap W, determinando bases para cada um.

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre os subespaços
U + W e U cap W em R^3, além de determinar bases para cada um. Vamos usar os conceitos de soma e interseção de subespaços, caracterizar cada um geradoramente e aplicar o Teorema de Grassmann para dimensões.

Passo 2

Caracterização de U.
Por definição
U=(a,b,c)mid a=b=c,
então todo vetor de U tem forma (a,a,a)=a,(1,1,1). Logo
U=span(1,1,1),
e uma base de U é
(1,1,1)

Passo 3

Caracterização de W.
Em
W=(a,b,c)mid a+b=0
temos b=-a, logo
(a,b,c)=(a,-a,c)=a,(1,-1,0)+c,(0,0,1)
Portanto
W=span(1,-1,0),(0,0,1),
e uma base de W é
(1,-1,0),(0,0,1)

Passo 4

Cálculo de Ucap W.
Um vetor em Ucap W tem forma (a,a,a) e também satisfaz a+a=0, ou seja 2a=0Rightarrow a=0. Logo
Ucap W=(0,0,0)
Esse é o subespaço trivial, cuja base é o conjunto vazio.

Passo 5

Cálculo de U+W.
Pelo Teorema de Grassmann,
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W)=1+2-0=3
Em R^3 só existe um subespaço de dimensão 3, que é ele próprio. Logo
U+W=R^3
Como base podemos tomar, por exemplo, os vetores que geram U e W juntos:
(1,1,1),,(1,-1,0),,(0,0,1),
que são claramente linearmente independentes em R^3.

Resposta

U+W=R^3 com base (1,1,1),(1,-1,0),(0,0,1).
Ucap W=(0,0,0) com base o conjunto vazio.

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