Considere os subespaços de
:
Encontre
e
, determinando bases para cada um.
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre os subespaços
e
em
, além de determinar bases para cada um. Vamos usar os conceitos de soma e interseção de subespaços, caracterizar cada um geradoramente e aplicar o Teorema de Grassmann para dimensões.
Passo 2
Caracterização de
.
Por definição
Por definição
então todo vetor de
tem forma
. Logo
e uma base de
é
Passo 3
Caracterização de
.
Em
Em
temos
, logo
Portanto
e uma base de
é
Passo 4
Cálculo de
.
Um vetor em tem forma
e também satisfaz
, ou seja
. Logo
Um vetor em
Esse é o subespaço trivial, cuja base é o conjunto vazio.
Passo 5
Cálculo de
.
Pelo Teorema de Grassmann,
Pelo Teorema de Grassmann,
Em
só existe um subespaço de dimensão
, que é ele próprio. Logo
Como base podemos tomar, por exemplo, os vetores que geram
e
juntos:
que são claramente linearmente independentes em
.