Determine se o polinômio p(x)=2+3 x+4 x^2 pertence ao espaço gerado por 1+x, x^2, 2 x-x^2 em P2(R).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
p(x)=2+3x+4x^2
pertence ao subespaço gerado por
,1+x,;x^2,;2x-x^2
em P2(R).
Isso equivale a ver se existem escalares a,b,cinR tais que
a(1+x)+b,x^2+c,(2x-x^2)=p(x)

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e agrupando termos em potências de x, temos
a(1+x)+b,x^2+c(2x-x^2) = a + a,x + b,x^2 + 2c,x - c,x^2
Agrupando coeficientes:
  • termo constante: a,
  • coeficiente de x: a + 2c,
  • coeficiente de x^2: b - c.

Passo 3

Igualamos esses coeficientes aos de
Da primeira equação segue (a=2]. Substituindo na segunda:

Finalmente, da terceira:

Passo 4

Encontramos a=2, b=tfrac92 e c=tfrac12, logo
p(x) =2,(1+x) +tfrac92,x^2 +tfrac12,(2x - x^2),
o que mostra que p(x) é combinação linear dos polinômios dados e, portanto, pertence ao espaço gerado por eles.

Resposta

p(x) pertence ao span ,1+x,;x^2,;2x-x^2, pois
p(x) =2(1+x)+92,x^2+12(2x-x^2)

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