Seja V=p in P2(R) mid p(0)=0, onde P2 é o espaço dos polinômios de grau <= 2. Mostre que V é um subespaço de P2(R). Determine a dimensão de V.

Passo 1

O enunciado define
V = ,pin P2(R) mid p(0)=0,
ou seja, são todos os polinômios de grau <=2 cujo termo constante é zero. Para mostrar que V é subespaço de P2(R) precisamos verificar três propriedades:
1. O polinômio zero está em V.
2. V é fechado sob soma.
3. V é fechado sob multiplicação por escalar.
Depois, para determinar dim V, basta encontrar uma base de V.

Passo 2

Verificação do polinômio zero e da soma.
1. O polinômio zero 0(t)=0 satisfaz 0(0)=0, logo 0in V.
2. Tomemos p,qin V. Isso significa p(0)=0 e q(0)=0. Então
(p+q)(0) = p(0) + q(0) = 0 + 0 = 0,
logo p+qin V. Assim V é fechado sob soma.

Passo 3

Fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja lambdainR e pin V. Como p(0)=0, temos
(lambda p)(0) = lambda,p(0) = lambdacdot 0 = 0,
portanto lambda pin V.

Passo 4

Determinação da dimensão.
Um polinômio pin V tem a forma
p(t) = a,t + b,t^2,
pois o termo constante é zero. Logo todo pin V é combinação linear de t e t^2. Verificamos que ,t,;t^2 é um conjunto linearmente independente em V e gera V. Portanto é base de V e
dim V = 2

Resposta

Mostramos que V satisfaz as três propriedades de subespaço, logo V é subespaço de P2(R). Além disso, uma base de V é ,t,;t^2, portanto
dim V = 2

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