Seja
, onde
é o espaço dos polinômios de grau
. Mostre que
é um subespaço de
. Determine a dimensão de
.
Passo 1
O enunciado define
ou seja, são todos os polinômios de grau
cujo termo constante é zero. Para mostrar que
é subespaço de
precisamos verificar três propriedades:
. O polinômio zero está em
.
.
é fechado sob soma.
.
é fechado sob multiplicação por escalar.
Depois, para determinar , basta encontrar uma base de
.
Depois, para determinar
Passo 2
Verificação do polinômio zero e da soma.
. O polinômio zero
satisfaz
, logo
.
. Tomemos
. Isso significa
e
. Então
logo
. Assim
é fechado sob soma.
Passo 3
Fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja e
. Como
, temos
Seja
portanto
.
Passo 4
Determinação da dimensão.
Um polinômio tem a forma
Um polinômio
pois o termo constante é zero. Logo todo
é combinação linear de
e
. Verificamos que
é um conjunto linearmente independente em
e gera
. Portanto é base de
e
Resposta
Mostramos que
satisfaz as três propriedades de subespaço, logo
é subespaço de
. Além disso, uma base de
é
, portanto