Mostre que o espaço das matrizes 2 times 2, M2(R), é a soma direta do subespaço das matrizes simétricas e o das antissimétricas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o espaço vetorial das matrizes 2times2 sobre R, denotado por M2(R), é a soma direta dos subespaços
S = Ain M2(R) mid A^T = A
das matrizes simétricas e
K = Ain M2(R) mid A^T = -A
das matrizes antissimétricas.
O conteúdo usado será: definição de subespaço, soma de subespaços e soma direta (interseção trivial).

Passo 2

Mostramos primeiro que toda matriz Ain M2(R) pode ser escrita como soma de uma parte simétrica e uma parte antissimétrica. Defina
P = A + A^T2, Q = A - A^T2
Então
P^T = A^T + (A^T)^T2 = A^T + A2 = P,
ou seja Pin S, e
Q^T = A^T - (A^T)^T2 = A^T - A2 = -A - A^T2 = -Q,
ou seja Qin K. Além disso,
P + Q = A + A^T2 + A - A^T2 = A
Portanto Ain S + K, e como A era uma matriz qualquer, segue que
M2(R) = S + K

Passo 3

Para provar que a soma é direta, precisamos mostrar Scap K = 0. Seja Min Scap K. Então
M^T = M e M^T = -M
Isto implica M = -M, ou seja 2M = 0, logo M = 0. Assim a única matriz em comum é a matriz nula.

Resposta

Concluímos que
M2(R) = S oplus K,
ou seja, o espaço de todas as matrizes 2times2 é a soma direta do subespaço das matrizes simétricas e do subespaço das matrizes antissimétricas.

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