Mostre que o espaço das matrizes
, é a soma direta do subespaço das matrizes simétricas e o das antissimétricas.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o espaço vetorial das matrizes
sobre
, denotado por
, é a soma direta dos subespaços
das matrizes simétricas e
das matrizes antissimétricas.
O conteúdo usado será: definição de subespaço, soma de subespaços e soma direta (interseção trivial).
O conteúdo usado será: definição de subespaço, soma de subespaços e soma direta (interseção trivial).
Passo 2
Mostramos primeiro que toda matriz
pode ser escrita como soma de uma parte simétrica e uma parte antissimétrica. Defina
Então
ou seja
, e
ou seja
. Além disso,
Portanto
, e como
era uma matriz qualquer, segue que
Passo 3
Para provar que a soma é direta, precisamos mostrar
. Seja
. Então
Isto implica
, ou seja
, logo
. Assim a única matriz em comum é a matriz nula.
Resposta
Concluímos que
ou seja, o espaço de todas as matrizes
é a soma direta do subespaço das matrizes simétricas e do subespaço das matrizes antissimétricas.