Sejam
e
subespaços de
. Determine
e decida se a soma é direta.
Passo 1
O enunciado dá os subespaços
de
e pede (a) a soma
e (b) se essa soma é direta. Vamos usar a definição de soma de subespaços
e a condição para soma direta:
se, e somente se,
.
Passo 2
Tomando
e
, seu somatório é
Logo
Para ver que isso é todo
, dado
basta escolher
,
e, por exemplo,
,
. Assim
logo
.
Passo 3
Para a interseção, procuramos
que também seja
. Igualando coordenadas:
Assim
que é um subespaço de dimensão 1 (a reta
-axis).
Passo 4
Como
, a soma não satisfaz a condição de soma direta. Logo não temos
.
Resposta
A soma não é direta, pois