Sejam U=(x, y, 0) mid x, y in R e W=(0, z, w) mid z, w in R subespaços de R^3. Determine U+W e decida se a soma é direta.

Passo 1

O enunciado dá os subespaços
U = (x,y,0)mid x,yinR, W = (0,z,w)mid z,winR
de R^3 e pede (a) a soma U+W e (b) se essa soma é direta. Vamos usar a definição de soma de subespaços
U+W = u+wmid uin U,;win W
e a condição para soma direta: Uoplus W se, e somente se, Ucap W=0.

Passo 2

Tomando u=(x,y,0)in U e w=(0,z,w)in W, seu somatório é
u+w = (x,y,0) + (0,z,w) = (x,;y+z,;w)
Logo
U+W = (x,y+z,w)mid x,y,z,winR
Para ver que isso é todo R^3, dado (a,b,c)inR^3 basta escolher x=a, w=c e, por exemplo, y=0, z=b. Assim
(a,b,c) = (a,0,0)+(0,b,c)in U+W,
logo U+W=R^3.

Passo 3

Para a interseção, procuramos (x,y,0)in U que também seja (0,z,w)in W. Igualando coordenadas:
(x,y,0)=(0,z,w) Longrightarrow x=0,;y=z,;0=w
Assim
Ucap W = (0,y,0)mid yinR,
que é um subespaço de dimensão 1 (a reta y-axis).

Passo 4

Como Ucap W neq (0,0,0), a soma não satisfaz a condição de soma direta. Logo não temos Uoplus W.

Resposta

U+W = R^3.
A soma não é direta, pois Ucap W = (0,y,0)mid yinRneq(0,0,0).

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