Verifique se o subconjunto F=(x, y, z) in R^3 ; z=x ou z=y, do espaço vetorial R^3, é um subespaço vetorial de R^3.

Passo 1

O enunciado define
F = (x,y,z)inR^3 mid z=x ou z=y
e pede para verificar se F é subespaço de R^3. Para isso usamos a definição: um subconjunto de um espaço vetorial é subespaço se contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero está em F. O vetor zero é (0,0,0). Como 0=0 satisfaz tanto z=x quanto z=y, temos
(0,0,0)in F

Passo 3

Testamos a clausura sob adição. Tomemos
u = (1,0,1)in F pois 1=z=x, v = (0,1,1)in F pois 1=z=y
Então
u+v = (1,0,1)+(0,1,1) = (1,1,2)
Para (1,1,2) não vale 2=x=1 nem 2=y=1. Logo
u+vnotin F,
ou seja, F não é fechado sob adição.

Passo 4

Como a soma de dois vetores de F pode não pertencer a F, concluímos que F não satisfaz a condição de subespaço.

Resposta

F não é um subespaço vetorial de R^3.

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