1. Consıdere os subespaços U=\left\{(a, b, c, a) \in \mathbb{K}^{x^{2}}: b-2 c+a=0\right\} e W=\left\{(a, b, c, a) \in \mathbb{K}^{2}: a=a, b=2 c\right\} Determine a base e a dimensão de:
(b) W;

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado nos dá o subespaço
W=\{(a,b,c,a)\in\mathbb{K}^4:\; a=a,\; b=2c\}.
  • Informação explícita extraída: a condição a=a é trivial (não impõe restrição); a única restrição não trivial é b=2c.
  • O que se pede: determinar uma base de W e calcular \dim(W).

Passo 2

Entender a forma geral de um vetor de W. Como a única condição é b=2c, um vetor qualquer de W tem a forma
(a,b,c,a)=(a,2c,c,a),
onde a e c são parâmetros livres em \mathbb{K}.
Explicando devagar: estou escrevendo o vetor em função de dois parâmetros a e c porque b fica fixado como 2c. Isso transforma W num conjunto de vetores parametrizados por dois graus de liberdade.

Passo 3

Escrever o vetor parametrizado como combinação linear de vetores fixos. Separe os coeficientes a e c:
(a,2c,c,a)=a\,(1,0,0,1)+c\,(0,2,1,0).
A interpretação: todo vetor de W é uma combinação linear dos vetores (1,0,0,1) e (0,2,1,0). Portanto esses dois vetores geram W, ou seja,
\operatorname{span}\{(1,0,0,1),(0,2,1,0)\}\subseteq W,
e pelo passo anterior também vale W\subseteq\operatorname{span}\{(1,0,0,1),(0,2,1,0)\}. Logo os dois geram exatamente W.
Aqui aproveito para explicar o conceito usado: “gerar” ou “span” significa que qualquer vetor do subespaço pode ser escrito como combinação linear de um conjunto de vetores fixos. Mostrar a escrita acima prova que esses vetores geram W.

Passo 4

Verificar se os vetores geradores são linearmente independentes. Tome escalares \alpha,\beta\in\mathbb{K}\) com \[\alpha(1,0,0,1)+\beta(0,2,1,0)=(0,0,0,0).
Igualando coordenadas obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha+0\beta=0,\\[4pt] 0\alpha+2\beta=0,\\[4pt] 0\alpha+1\beta=0,\\[4pt] 1\alpha+0\beta=0. \end{cases}
Das primeiras e últimas equações vem \alpha=0\]. Da terceira equação vem \(\beta=0. (A segunda dá 2\beta=0, que também implica \beta=0.) Portanto \alpha=\beta=0 é a única solução, isto é, os vetores são linearmente independentes.
Explicando o conceito: vetores são linearmente independentes quando a única combinação linear que dá o vetor nulo é com todos os coeficientes nulos. Isso garante que nenhum dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros.]

Passo 5

Como os vetores (1,0,0,1) e (0,2,1,0) geram W e são linearmente independentes, eles formam uma base de W.
A dimensão de W é o número de vetores de qualquer base de W. Aqui a base tem dois vetores, então
\dim(W)=2.

Resposta

\{(1,0,0,1),(0,2,1,0)\}
\dim(W)=2

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