1. Seja S um subconjunto de M(2,2), definido por S=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]: b=a+c\right. e \left.d=c\right\}.
(b) Os vetores v_{1}=\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ 0 & -1\end{array}\right] e v_{2}=\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\\\ -3 & 4\end{array}\right] pertencem a S ?

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto S formado por matrizes 2\times2 cujos elementos a,b,c,d satisfazem as duas igualdades
b = a + c \qquad\text{e}\qquad d = c.
O que a parte (b) pede é: verificar se as matrizes
v_{1}=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad v_{2}=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]-3 & 4\end{pmatrix}
pertencem a S.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para uma matriz genérica \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix} em S valem as condições \,b=a+c e \,d=c.
  • A verificação de pertença consiste em identificar a,b,c,d na matriz dada e checar se as duas igualdades são verdadeiras simultaneamente.]

Passo 2

Explicando o método (passo a passo didático): dizer que uma matriz M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix} pertence a S significa exatamente que os números que ocupam as posições (1,1),(1,2),(2,1),(2,2) satisfazem as duas equações dadas. Ou seja:
  • a é o elemento da primeira linha, primeira coluna;
  • b é o elemento da primeira linha, segunda coluna;
  • c é o elemento da segunda linha, primeira coluna;
  • d é o elemento da segunda linha, segunda coluna.
    Para verificar, basta substituir esses valores nas igualdades \,b=a+c e \,d=c e ver se ambas são verdadeiras. Se alguma falhar, a matriz não pertence a S.]

Passo 3

Aplicando o método a v_{1}. Identificando entradas:
a=1,\quad b=1,\quad c=0,\quad d=-1.
Verifico a primeira condição \,b=a+c:
b = 1,\qquad a+c = 1 + 0 = 1,
então \,b=a+c é satisfeita (pois 1=1). Agora verifico a segunda condição \,d=c:
d = -1,\qquad c = 0,
então \,d=c exigiria -1=0, o que é falso. Conclusão parcial: v_{1} não satisfaz todas as condições definidoras de S (a segunda condição falha).

Passo 4

Aplicando o método a v_{2}. Identificando entradas:
a=2,\quad b=1,\quad c=-3,\quad d=4.
Verifico a primeira condição \,b=a+c:
a+c = 2 + (-3) = -1,\qquad b = 1,
portanto \,b=a+c exigiria 1 = -1, que é falso. Já a segunda condição \,d=c comparando
d = 4,\qquad c = -3,
exigiria 4 = -3, também falso. Assim v_{2} falha em ambas as condições.

Passo 5

Comentário didático extra (útil para a prova): a condição que define S é linear em a,b,c,d, então S é um subespaço (plano) de M(2,2). Uma forma explícita geral de um elemento de S é
\begin{pmatrix}a & a+c\\[4pt]c & c\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix},
com a,c\in\mathbb{R}. Isso ajuda a ver rapidamente se uma matriz pertence a S: basta tentar escrevê-la nessa combinação linear.]

Resposta

\,v_1 \notin S
\,v_2 \notin S

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