pertencem a S.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Para uma matriz genérica \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix} em S valem as condições \,b=a+c e \,d=c.
A verificação de pertença consiste em identificar a,b,c,d na matriz dada e checar se as duas igualdades são verdadeiras simultaneamente.]
Passo 2
Explicando o método (passo a passo didático): dizer que uma matriz M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix} pertence a S significa exatamente que os números que ocupam as posições (1,1),(1,2),(2,1),(2,2) satisfazem as duas equações dadas. Ou seja:
a é o elemento da primeira linha, primeira coluna;
b é o elemento da primeira linha, segunda coluna;
c é o elemento da segunda linha, primeira coluna;
d é o elemento da segunda linha, segunda coluna.
Para verificar, basta substituir esses valores nas igualdades \,b=a+c e \,d=c e ver se ambas são verdadeiras. Se alguma falhar, a matriz não pertence a S.]
Passo 3
Aplicando o método a v_{1}. Identificando entradas:
a=1,\quad b=1,\quad c=0,\quad d=-1.
Verifico a primeira condição \,b=a+c:
b = 1,\qquad a+c = 1 + 0 = 1,
então \,b=a+c é satisfeita (pois 1=1). Agora verifico a segunda condição \,d=c:
d = -1,\qquad c = 0,
então \,d=c exigiria -1=0, o que é falso. Conclusão parcial: v_{1} não satisfaz todas as condições definidoras de S (a segunda condição falha).
Passo 4
Aplicando o método a v_{2}. Identificando entradas:
a=2,\quad b=1,\quad c=-3,\quad d=4.
Verifico a primeira condição \,b=a+c:
a+c = 2 + (-3) = -1,\qquad b = 1,
portanto \,b=a+c exigiria 1 = -1, que é falso. Já a segunda condição \,d=c comparando
d = 4,\qquad c = -3,
exigiria 4 = -3, também falso. Assim v_{2} falha em ambas as condições.
Passo 5
Comentário didático extra (útil para a prova): a condição que define S é linear em a,b,c,d, então S é um subespaço (plano) de M(2,2). Uma forma explícita geral de um elemento de S é