Considere os subespaços de R^4 dados por
W1=(x, y, z, w) in R^4: x+y+w=0 e z-w=0
e
W2=(x, y, z, w) in R^4: y+z+w=0
Exiba uma base para W1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma base para o subespaço W1 de R^4 . Isso envolve usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e bases. Para resolver, vamos identificar as condições que definem W1 e encontrar vetores que satisfaçam essas condições de forma independente e que gerem todo o subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as condições que definem W1 . O subespaço é dado por:
W1 = (x, y, z, w) in R^4 : x + y + w = 0 e z - w = 0
Isso significa que qualquer vetor em W1 deve satisfazer essas duas equações simultaneamente.

Passo 3

Vamos resolver essas equações para expressar algumas variáveis em termos de outras. Da segunda equação z - w = 0 , temos que z = w . Agora, substituímos z por w na primeira equação:
x + y + w = 0 implies x = -y - w
Então, podemos expressar x e z em função de y e w .

Passo 4

Agora, vamos escrever um vetor genérico de W1 usando as expressões que encontramos:
(x, y, z, w) = (-y - w, y, w, w)
Podemos separar os termos que contêm y e w :
= y cdot (-1, 1, 0, 0) + w cdot (-1, 0, 1, 1)
Isso mostra que qualquer vetor em W1 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores (-1, 1, 0, 0) e (-1, 0, 1, 1) .

Passo 5

Para formar uma base para W1 , precisamos de vetores que sejam lineares e que gerem todo o subespaço. Os vetores que encontramos são:
v1 = (-1, 1, 0, 0)
v2 = (-1, 0, 1, 1)
Vamos verificar se eles são linearmente independentes. Se uma combinação linear desses vetores igual a zero só tiver solução trivial, ou seja, com coeficientes iguais a zero, então são independentes. Nesse caso, fica claro que não existe uma relação linear não trivial entre eles, então são independentes.

Resposta

Uma base para W1 é composta pelos vetores
, (-1, 1, 0, 0), (-1, 0, 1, 1) ,

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