Considere os subespaços de
dados por
e
Exiba uma base para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma base para o subespaço
de
. Isso envolve usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e bases. Para resolver, vamos identificar as condições que definem
e encontrar vetores que satisfaçam essas condições de forma independente e que gerem todo o subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as condições que definem
. O subespaço é dado por:
Isso significa que qualquer vetor em
deve satisfazer essas duas equações simultaneamente.
Passo 3
Vamos resolver essas equações para expressar algumas variáveis em termos de outras. Da segunda equação
, temos que
. Agora, substituímos
por
na primeira equação:
Então, podemos expressar
e
em função de
e
.
Passo 4
Agora, vamos escrever um vetor genérico de
usando as expressões que encontramos:
Podemos separar os termos que contêm
e
:
Isso mostra que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores
e
.
Passo 5
Para formar uma base para
, precisamos de vetores que sejam lineares e que gerem todo o subespaço. Os vetores que encontramos são:
Vamos verificar se eles são linearmente independentes. Se uma combinação linear desses vetores igual a zero só tiver solução trivial, ou seja, com coeficientes iguais a zero, então são independentes. Nesse caso, fica claro que não existe uma relação linear não trivial entre eles, então são independentes.
Resposta
Uma base para
é composta pelos vetores