Verifique em cada caso se
é um homomorfismo. Em caso afirmativo, determinar se é injetor e sobrejetor e encontrar o núcleo de cada um deles.
dada por
em que
denotam grupos aditivos.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
é homomorfismo de grupos aditivos, e em caso afirmativo determinar se é injetor, sobrejetor e encontrar o seu núcleo. Vamos usar a definição de homomorfismo entre grupos abelianos, depois checar injetividade, sobrejetividade e calcular
.
Passo 2
Para ver se
é homomorfismo, tomamos dois pares
e
em
e comparamos
com
Como os resultados coincidem,
preserva a soma e, portanto, é homomorfismo de grupos.
Passo 3
Para testar injetividade, veja que
mas nada impede que
. Por exemplo,
porém
. Logo,
não é injetora.
Passo 4
Para testar sobrejetividade, seja
. Basta escolher o par
, pois
Isso mostra que qualquer elemento de
tem um antecessor em
, logo
é sobrejetora.
Passo 5
O núcleo de
é o conjunto dos pares que mapeiam para o neutro em
, ou seja