Verifique em cada caso se f é um homomorfismo. Em caso afirmativo, determinar se é injetor e sobrejetor e encontrar o núcleo de cada um deles.
f: Z times Z Z dada por f(x, y)=x em que Z e Z times Z denotam grupos aditivos.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
fcolon ZtimesZtoZ, f(x,y)=x
é homomorfismo de grupos aditivos, e em caso afirmativo determinar se é injetor, sobrejetor e encontrar o seu núcleo. Vamos usar a definição de homomorfismo entre grupos abelianos, depois checar injetividade, sobrejetividade e calcular ker(f).

Passo 2

Para ver se f é homomorfismo, tomamos dois pares (x1,y1) e (x2,y2) em ZtimesZ e comparamos
fl((x1,y1)+(x2,y2)r) = f(x1+x2,;y1+y2) = x1+x2
com
f(x1,y1)+f(x2,y2) = x1 + x2
Como os resultados coincidem, f preserva a soma e, portanto, é homomorfismo de grupos.

Passo 3

Para testar injetividade, veja que
f(x1,y1)=f(x2,y2)Longrightarrow x1=x2,
mas nada impede que y1neq y2. Por exemplo,
f(0,1)=0=f(0,2),
porém (0,1)neq(0,2). Logo, f não é injetora.

Passo 4

Para testar sobrejetividade, seja zinZ. Basta escolher o par (z,0), pois
f(z,0)=z
Isso mostra que qualquer elemento de Z tem um antecessor em ZtimesZ, logo f é sobrejetora.

Passo 5

O núcleo de f é o conjunto dos pares que mapeiam para o neutro em Z, ou seja
ker(f) =(x,y)inZtimesZmid f(x,y)=0 =(x,y)mid x=0 =(0,y)mid yinZ

Resposta

f é um homomorfismo de grupos aditivos, não é injetora, é sobrejetora, e
ker(f)=(0,y)mid yinZ

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