Verifique em cada caso se
é um homomorfismo. Em caso afirmativo, determinar se é injetor e sobrejetor e encontrar o núcleo de cada um deles.
dada por
, em que
é um grupo aditivo e
é um grupo multiplicativo.
Passo 1
O enunciado define
– o grupo com operação de adição;
– o grupo com operação de multiplicação;
e a aplicação
– o grupo
– o grupo
e a aplicação
Precisamos verificar se
é homomorfismo de grupos, e em caso afirmativo estudar injetividade, sobrejetividade e encontrar o núcleo.
Passo 2
Para ser homomorfismo, deve valer
para todos
. De fato,
Logo,
é um homomorfismo de
em
.
Passo 3
O núcleo de um homomorfismo
é
pois
é o elemento identidade em
. Resolvendo
no conjunto dos inteiros, obtemos
. Portanto
Passo 4
Um homomorfismo é injetor se e somente se o seu núcleo é trivial (ou seja,
no caso de
). Como
, concluímos que
é injetor.
Passo 5
A imagem de
é
Esse conjunto não é todo
(por exemplo,
), então
não é sobrejetor.