Verifique em cada caso se f é um homomorfismo. Em caso afirmativo, determinar se é injetor e sobrejetor e encontrar o núcleo de cada um deles.
f: Z R+^* dada por f(x)=2^x, em que Z é um grupo aditivo e R+^* é um grupo multiplicativo.

Passo 1

O enunciado define
– o grupo Z com operação de adição;
– o grupo R+^* com operação de multiplicação;
e a aplicação
fcolon ZtoR+^*, f(x)=2^x
Precisamos verificar se f é homomorfismo de grupos, e em caso afirmativo estudar injetividade, sobrejetividade e encontrar o núcleo.

Passo 2

Para ser homomorfismo, deve valer
f(x+y)=f(x)cdot f(y)
para todos x,yinZ. De fato,
f(x+y)=2^,x+y=2^xcdot2^y=f(x),f(y)
Logo, f é um homomorfismo de (Z,+) em (R+^*,cdot).

Passo 3

O núcleo de um homomorfismo f é
ker(f)=,xinZmid f(x)=1,
pois 1 é o elemento identidade em R+^*. Resolvendo
2^x=1
no conjunto dos inteiros, obtemos x=0. Portanto
ker(f)=0

Passo 4

Um homomorfismo é injetor se e somente se o seu núcleo é trivial (ou seja, 0 no caso de Z). Como ker(f)=0, concluímos que f é injetor.

Passo 5

A imagem de f é
Im(f)=2^xmid xinZ=dots,tfrac14,tfrac12,1,2,4,8,dots
Esse conjunto não é todo R+^* (por exemplo, 3notinIm(f)), então f não é sobrejetor.

Resposta

f é homomorfismo de grupos; é injetor; não é sobrejetor;
ker(f)=0

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