Considere os subespaços de R^4 dados por
W1=(x, y, z, w) in R^4: x+y+w=0 e z-w=0
e
W2=(x, y, z, w) in R^4: y+z+w=0
Exiba uma base para W2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço chamado W2 dentro de R^4 , que basicamente é um conjunto de vetores (x, y, z, w) que satisfazem a equação y + z + w = 0 . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base para esse espaço W2 . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre subespaços vetoriais e como encontrar uma base, que é um conjunto de vetores que “gera” todo o espaço sem redundâncias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa W2 ser um subespaço de R^4 . Ele é definido pela condição y + z + w = 0 , ou seja, todo vetor (x, y, z, w) em W2 deve satisfazer essa equação. Isso nos dá uma relação entre as coordenadas y, z e w , mas x não está restrito por ela. Então, x pode ser qualquer número real.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação y + z + w = 0 para expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, podemos resolver para w :
w = -y - z
Isso significa que qualquer vetor em W2 pode ser escrito como (x, y, z, -y - z). Note que x, y e z são livres, ou seja, podem assumir quaisquer valores reais.

Passo 4

Para encontrar uma base, vamos expressar o vetor (x, y, z, -y - z) em termos das variáveis livres x, y e z . Podemos reescrever isso assim:
(x, y, z, -y - z) = x(1, 0, 0, 0) + y(0, 1, 0, -1) + z(0, 0, 1, -1)
Aqui, estamos quebrando o vetor em combinações de vetores básicos multiplicados pelos coeficientes x, y e z .

Passo 5

Os vetores que multiplicamos por [x, y) e são:
Esses vetores são lineares e geram todo o espaço pode ser escrito como uma combinação linear deles.

Resposta

Uma base para W2 é formada pelos vetores , (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, -1), (0, 0, 1, -1) ,.

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