Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço chamado dentro de , que basicamente é um conjunto de vetores que satisfazem a equação . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base para esse espaço . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre subespaços vetoriais e como encontrar uma base, que é um conjunto de vetores que “gera” todo o espaço sem redundâncias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser um subespaço de . Ele é definido pela condição , ou seja, todo vetor em deve satisfazer essa equação. Isso nos dá uma relação entre as coordenadas e , mas não está restrito por ela. Então, pode ser qualquer número real.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação para expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, podemos resolver para :
Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como . Note que e são livres, ou seja, podem assumir quaisquer valores reais.
Passo 4
Para encontrar uma base, vamos expressar o vetor em termos das variáveis livres e . Podemos reescrever isso assim:
Aqui, estamos quebrando o vetor em combinações de vetores básicos multiplicados pelos coeficientes e .
Passo 5
Os vetores que multiplicamos por [x, y) e são:
Esses vetores são lineares e geram todo o espaço pode ser escrito como uma combinação linear deles.
Resposta
Uma base para W2 é formada pelos vetores , (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, -1), (0, 0, 1, -1) ,.