Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar uma base para a interseção dos subespaços e em . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e sistemas de equações lineares. Para resolver, vamos precisar montar e resolver um sistema de equações que represente as condições de ambos os subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as condições que definem cada subespaço:
Para [W_1):
Para (W_2]:
Agora, queremos encontrar todos os vetores que satisfazem todas essas equações ao mesmo tempo, ou seja, resolver o sistema completo.
Passo 3
Vamos começar pela segunda equação de :
Isso significa que e são iguais.
Passo 4
Agora, substituímos na equação de :
Então, é igual a .
Passo 5
Em seguida, substituímos na primeira equação de :
Portanto, também é igual a .
Passo 6
Agora, temos todas as variáveis expressas em termos de [w):
Podemos parametrizar , onde .
Passo 7
Expressando todas as variáveis em função de t :
x = t y = -2t z = t w = t
Isso nos dá a solução geral:
(x, y, z, w) = t cdot (1, -2, 1, 1)
Resposta
Uma base para W1 cap W2 é o conjunto , (1, -2, 1, 1) ,.