Considere os subespaços de R^4 dados por
W1=(x, y, z, w) in R^4: x+y+w=0 e z-w=0
e
W2=(x, y, z, w) in R^4: y+z+w=0
Determine uma base para W1 cap W2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar uma base para a interseção dos subespaços W1 e W2 em R^4 . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e sistemas de equações lineares. Para resolver, vamos precisar montar e resolver um sistema de equações que represente as condições de ambos os subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as condições que definem cada subespaço:
Para [W_1):
Para (W_2]:
Agora, queremos encontrar todos os vetores que satisfazem todas essas equações ao mesmo tempo, ou seja, resolver o sistema completo.

Passo 3

Vamos começar pela segunda equação de W1 :
z - w = 0 implies z = w
Isso significa que z e w são iguais.

Passo 4

Agora, substituímos z = w na equação de W2 :
y + w + w = 0 implies y + 2w = 0 implies y = -2w
Então, y é igual a -2w .

Passo 5

Em seguida, substituímos y = -2w na primeira equação de W1 :
x + (-2w) + w = 0 implies x - w = 0 implies x = w
Portanto, x também é igual a w .

Passo 6

Agora, temos todas as variáveis expressas em termos de [w):
Podemos parametrizar , onde .

Passo 7

Expressando todas as variáveis em função de t :
x = t y = -2t z = t w = t
Isso nos dá a solução geral:
(x, y, z, w) = t cdot (1, -2, 1, 1)

Resposta

Uma base para W1 cap W2 é o conjunto , (1, -2, 1, 1) ,.

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