Considere os subespaços de R^4 dados por
W1=(x, y, z, w) in R^4: x+y+w=0 e z-w=0
e
W2=(x, y, z, w) in R^4: y+z+w=0
Determine uma base para W1+W2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar uma base para a soma dos subespaços W1 e W2 no espaço R^4. Isso envolve conceitos de álgebra linear, como subespaços, bases e soma de subespaços. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar bases individuais para W1 e W2 e, em seguida, combinar essas bases para obter a base de W1 + W2 .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma base para [W_1). O subespaço é definido pelas equações:
Podemos expressar algumas variáveis em termos de outras. Vamos resolver essas equações:
Da segunda equação, (z = w].
Substituindo na primeira equação, temos [x + y + w = 0), ou seja, .
Então, podemos expressar e em termos de e :
Assim, qualquer vetor em (W_1] pode ser escrito como:
Portanto, uma base para é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma base para W2 . O subespaço W2 é definido pela equação:
y + z + w = 0
Podemos expressar uma variável em termos das outras. Vamos resolver para w :
w = -y - z
Assim, qualquer vetor em W2 pode ser escrito como:
(x, y, z, w) = (x, y, z, -y - z) = x(1, 0, 0, 0) + y(0, 1, 0, -1) + z(0, 0, 1, -1)
Portanto, uma base para W2 é , (1, 0, 0, 0), , (0, 1, 0, -1), , (0, 0, 1, -1) ,.

Passo 4

Agora que temos as bases de W1 e W2 , vamos encontrar uma base para a soma desses subespaços, W1 + W2 . A soma W1 + W2 é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de W1 e um vetor de W2 .
Para encontrar uma base para W1 + W2 , começamos unindo as bases de W1 e W2 :
, (-1, 1, 0, 0), , (-1, 0, 1, 1), , (1, 0, 0, 0), , (0, 1, 0, -1), , (0, 0, 1, -1) ,
Mas precisamos garantir que essa lista seja linearmente independente. Para isso, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e realizar operações para encontrar quais vetores são necessários para formar a base.

Passo 5

Vamos montar a matriz com os vetores como colunas:
-1 & -1 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & -1 & -1
Agora, vamos realizar a eliminação de Gauss para determinar a independência linear desses vetores.
Após realizar as operações, encontramos que os vetores (-1, 1, 0, 0), (-1, 0, 1, 1) e (1, 0, 0, 0) são linearmente independentes, e os outros vetores podem ser expressos como combinações desses.

Resposta

Uma base para W1 + W2 é , (-1, 1, 0, 0), , (-1, 0, 1, 1), , (1, 0, 0, 0) ,.

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