Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar uma base para a soma dos subespaços e no espaço . Isso envolve conceitos de álgebra linear, como subespaços, bases e soma de subespaços. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar bases individuais para e e, em seguida, combinar essas bases para obter a base de .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar uma base para [W_1). O subespaço é definido pelas equações:
Podemos expressar algumas variáveis em termos de outras. Vamos resolver essas equações:
Da segunda equação, (z = w].
Substituindo na primeira equação, temos [x + y + w = 0), ou seja, .
Então, podemos expressar e em termos de e :
Assim, qualquer vetor em (W_1] pode ser escrito como:
Portanto, uma base para é .
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma base para . O subespaço é definido pela equação:
Podemos expressar uma variável em termos das outras. Vamos resolver para :
Assim, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Portanto, uma base para é .
Passo 4
Agora que temos as bases de e , vamos encontrar uma base para a soma desses subespaços, . A soma é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de .
Para encontrar uma base para , começamos unindo as bases de e :
Mas precisamos garantir que essa lista seja linearmente independente. Para isso, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e realizar operações para encontrar quais vetores são necessários para formar a base.
Passo 5
Vamos montar a matriz com os vetores como colunas:
Agora, vamos realizar a eliminação de Gauss para determinar a independência linear desses vetores.
Após realizar as operações, encontramos que os vetores (-1, 1, 0, 0), (-1, 0, 1, 1) e (1, 0, 0, 0) são linearmente independentes, e os outros vetores podem ser expressos como combinações desses.
Resposta
Uma base para W1 + W2 é , (-1, 1, 0, 0), , (-1, 0, 1, 1), , (1, 0, 0, 0) ,.