Mostre que B=5-X^3,(4-X)^2, 3-X, 2 é uma base para o espaço dos polinômios com grau menor ou igual a 3 . Em seguinda, determine as coordenadas de
p(X)=1-X^2
nesta base.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente mostrar que o conjunto B = 5 - X^3,, (4 - X)^2,, 3 - X,, 2 é uma base para o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 3. Depois disso, precisamos encontrar as coordenadas do polinômio p(X) = 1 - X^2 nessa base. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de base, espaço vetorial e como representar um polinômio em termos de uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em termos simples, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, o espaço é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 3, que chamamos de P3 .

Passo 3

Para mostrar que B é uma base de P3 , precisamos verificar duas coisas:
  1. Linearmente Independentes: Nenhum polinômio de B pode ser escrito como combinação linear dos outros.
  2. Geram P3 : Qualquer polinômio de grau menor ou igual a 3 pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios de B .

Passo 4

Vamos verificar a linearmente independentes. Suponha que exista uma combinação linear
Queremos mostrar que [a = b = c = d = 0). Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Para que isso seja igual a zero para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero:
Da primeira equação, , da terceira equação, . Finalmente, com , a quarta equação nos dá , ou seja, . Portanto, os polinômios são linearmente independentes.

Passo 5

Agora, vamos verificar se esses polinômios geram P3 . Isso significa que qualquer polinômio p(X) = a3X^3 + a2X^2 + a1X + a0 pode ser escrito como:
p(X) = k1(5 - X^3) + k2(4 - X)^2 + k3(3 - X) + k4(2)
Explicando, precisamos encontrar coeficientes k1, k2, k3, k4 que satisfaçam essa igualdade para qualquer p(X) .

Passo 6

Explicando mais a fundo, expandindo [(4 - X)^{2}):
Então, a equação fica:
Distribuindo os coeficientes:
Para os polinômios serem iguais, os coeficientes de cada potência de devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Como conseguimos resolver para qualquer realmente geram .

Passo 7

Como B é um conjunto de quatro polinômios linearmente independentes que geram P3 , concluímos que B é uma base para o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 3.

Passo 8

Agora, vamos encontrar as coordenadas do polinômio [p(X) = 1 - X^{2}) nessa base. Precisamos encontrar coeficientes tais que:
Expandindo e agrupando os termos:
Estabelecendo igualdade dos coeficientes:
Resolvendo o sistema:
  1. De .
  2. De .
  3. De , ou seja, então .
  4. Substituindo , , e na última equação:

Resposta

As coordenadas de p(X) = 1 - X^2 na base B são (0,; -1,; 8,; -72) .

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