Mostre que é uma base para o espaço dos polinômios com grau menor ou igual a 3 . Em seguinda, determine as coordenadas de
nesta base.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente mostrar que o conjunto é uma base para o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 3. Depois disso, precisamos encontrar as coordenadas do polinômio nessa base. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de base, espaço vetorial e como representar um polinômio em termos de uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em termos simples, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, o espaço é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 3, que chamamos de .
Passo 3
Para mostrar que é uma base de , precisamos verificar duas coisas:
Linearmente Independentes: Nenhum polinômio de pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Geram : Qualquer polinômio de grau menor ou igual a 3 pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios de .
Passo 4
Vamos verificar a linearmente independentes. Suponha que exista uma combinação linear
Queremos mostrar que [a = b = c = d = 0). Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Para que isso seja igual a zero para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero:
Da primeira equação, , da terceira equação, . Finalmente, com , a quarta equação nos dá , ou seja, . Portanto, os polinômios são linearmente independentes.
Passo 5
Agora, vamos verificar se esses polinômios geram P3 . Isso significa que qualquer polinômio p(X) = a3X^3 + a2X^2 + a1X + a0 pode ser escrito como:
Explicando, precisamos encontrar coeficientes k1, k2, k3, k4 que satisfaçam essa igualdade para qualquer p(X) .
Passo 6
Explicando mais a fundo, expandindo [(4 - X)^{2}):
Então, a equação fica:
Distribuindo os coeficientes:
Para os polinômios serem iguais, os coeficientes de cada potência de devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Como conseguimos resolver para qualquer realmente geram.
Passo 7
Como B é um conjunto de quatro polinômios linearmente independentes que geram P3 , concluímos que B é uma base para o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 3.
Passo 8
Agora, vamos encontrar as coordenadas do polinômio [p(X) = 1 - X^{2}) nessa base. Precisamos encontrar coeficientes tais que:
Expandindo e agrupando os termos:
Estabelecendo igualdade dos coeficientes:
Resolvendo o sistema:
De .
De .
De , ou seja, então .
Substituindo , , e na última equação:
Resposta
As coordenadas de p(X) = 1 - X^2 na base B são (0,; -1,; 8,; -72) .