Considere os subespaços de
:
e
Determine:
Determine:
Passo 1
O enunciado dá três subespaços de
:
Como o enunciado só diz “Determine:”, vou determinar explicitamente as seguintes informações, que são as coisas mais comuns pedidas para subespaços desse tipo:
- bases e dimensões de
; - as intersecções
(e suas dimensões/bases); - as somas
(e suas dimensões); - indicar quando alguma soma é direta (ou seja, se a interseção é
).
Passo 2
Pequena revisão útil (rápida e prática):
- Um conjunto de vetores gera um subespaço por combinações lineares; uma base é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram o subespaço.
- A dimensão de um subespaço é o número de vetores de qualquer base.
- Para achar uma base a partir de equações lineares, o caminho prático é parametrizar as coordenadas livres e escrever o vetor como combinação linear dos parâmetros.
- Fórmula importante para somas:
Vou aplicar esses princípios passo a passo.
Passo 3
Determinar base e dimensão de
.
Parametrização: a condição é
. Seja
e
parâmetros reais. Então
Isto mostra que
é gerado pelos vetores
e
. Esses dois vetores são LI (não são múltiplos um do outro), logo formam uma base. Portanto
Passo 4
Determinar base e dimensão de
.
Aqui todos os componentes são iguais; escrevemos com parâmetro
:
Logo
. Assim
Passo 5
Determinar base e dimensão de
.
A condição é
. Tomemos parâmetros
e
. Então
Portanto
é gerado por
e
. Esses dois vetores são LI (não há
tal que
), logo formam uma base. Assim
Passo 6
Calcular
.
Qual vetor pertence a
? É da forma
. Ver quando isso satisfaz a condição de
(que é
). Mas para
tem-se
automaticamente. Portanto todo vetor de
está em
. Assim
Passo 7
Calcular
.
Um vetor em
tem a forma
. Para estar em
também, deve satisfazer
. Substituindo:
Logo os vetores comuns têm
e
arbitrário, ou seja
. Portanto
Passo 8
Calcular
.
Um vetor de
é
. Para estar em
precisa satisfazer
, isto é
Portanto só o vetor nulo está na interseção:
Passo 9
Calcular
.
Como vimos em
Passo 10
Passo 11
Calcular
.
Usamos a fórmula da dimensão:
Substituindo os valores encontrados:
Como
tem dimensão
, isso implica
.
Uma verificação direta (útil na prova): tomar as bases
de
e
de
(um vetor de
não em
); os três vetores
são linearmente independentes (determinante de matriz formada por eles é
), logo geram
.
Passo 12
Calcular
.
Usando a fórmula da dimensão:
Logo
.
Passo 13
Decidir quais somas são diretas.
Lembre que a soma
é direta (escreve-se
) se e somente se
.
- Para
(Passo 8) e , temos
Ou seja,
e
formam soma direta que é todo
.
-
Para
não ser apenas (Passo 7 mostrou dimensão ), a soma não é direta (mesmo sendo ). -
Para
(Passo 6), a soma também não é direta (a interseção é grande).
Resposta
Base de
!,
Base de ,
Base de ,
,
,
,
,
,
,
Soma direta: .
Base de
Base de
Soma direta: