Considere os subespaços de R^{3} :
\left.V_{1}=\{x, y, z) \in R^{3} ; x=y\right\} ; V_{2}=\left\{(x, y, z) \in R^{3} ; x=y=z\right\} e V_{3}=\left\{(x, y, z) \in R^{3} ; x=y-z\right\}
Determine:

Passo 1

O enunciado dá três subespaços de \mathbb{R}^3:
V_{1}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=y\}, \qquad V_{2}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=y=z\}, \qquad V_{3}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=y-z\}.
Como o enunciado só diz “Determine:”, vou determinar explicitamente as seguintes informações, que são as coisas mais comuns pedidas para subespaços desse tipo:
  • bases e dimensões de V_{1},V_{2},V_{3};
  • as intersecções V_{1}\cap V_{2},\,V_{1}\cap V_{3},\,V_{2}\cap V_{3} (e suas dimensões/bases);
  • as somas V_{1}+V_{2},\,V_{1}+V_{3},\,V_{2}+V_{3} (e suas dimensões);
  • indicar quando alguma soma é direta (ou seja, se a interseção é \{0\}).

Passo 2

Pequena revisão útil (rápida e prática):
  • Um conjunto de vetores gera um subespaço por combinações lineares; uma base é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram o subespaço.
  • A dimensão de um subespaço é o número de vetores de qualquer base.
  • Para achar uma base a partir de equações lineares, o caminho prático é parametrizar as coordenadas livres e escrever o vetor como combinação linear dos parâmetros.
  • Fórmula importante para somas:
\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W).
Vou aplicar esses princípios passo a passo.

Passo 3

Determinar base e dimensão de V_{1}=\{(x,y,z)\mid x=y\}.
Parametrização: a condição é x=y. Seja s=y e t=z parâmetros reais. Então
(x,y,z)=(s,s,t)=s(1,1,0)+t(0,0,1).
Isto mostra que V_{1} é gerado pelos vetores (1,1,0) e (0,0,1). Esses dois vetores são LI (não são múltiplos um do outro), logo formam uma base. Portanto
\text{base de }V_{1}=\{(1,1,0),(0,0,1)\}, \qquad \dim(V_{1})=2.

Passo 4

Determinar base e dimensão de V_{2}=\{(x,y,z)\mid x=y=z\}.
Aqui todos os componentes são iguais; escrevemos com parâmetro t:
(x,y,z)=(t,t,t)=t(1,1,1).
Logo V_{2}=\operatorname{span}\{(1,1,1)\}. Assim
\text{base de }V_{2}=\{(1,1,1)\}, \qquad \dim(V_{2})=1.

Passo 5

Determinar base e dimensão de V_{3}=\{(x,y,z)\mid x=y-z\}.
A condição é x=y-z. Tomemos parâmetros a=y e b=z. Então
(x,y,z)=(a-b,a,b)=a(1,1,0)+b(-1,0,1).
Portanto V_{3} é gerado por (1,1,0) e (-1,0,1). Esses dois vetores são LI (não há \lambda tal que (1,1,0)=\lambda(-1,0,1)), logo formam uma base. Assim
\text{base de }V_{3}=\{(1,1,0),\,(-1,0,1)\}, \qquad \dim(V_{3})=2.

Passo 6

Calcular V_{1}\cap V_{2}.
Qual vetor pertence a V_{2}? É da forma (t,t,t). Ver quando isso satisfaz a condição de V_{1} (que é x=y). Mas para (t,t,t) tem-se x=y automaticamente. Portanto todo vetor de V_{2} está em V_{1}. Assim
V_{1}\cap V_{2}=V_{2}=\operatorname{span}\{(1,1,1)\}, \qquad \dim(V_{1}\cap V_{2})=1.

Passo 7

Calcular V_{1}\cap V_{3}.
Um vetor em V_{1} tem a forma (s,s,t). Para estar em V_{3} também, deve satisfazer x=y-z. Substituindo:
s \stackrel{?}{=} s - t \quad\Longrightarrow\quad t=0.
Logo os vetores comuns têm t=0 e s arbitrário, ou seja (s,s,0)=s(1,1,0). Portanto
V_{1}\cap V_{3}=\operatorname{span}\{(1,1,0)\}, \qquad \dim(V_{1}\cap V_{3})=1.

Passo 8

Calcular V_{2}\cap V_{3}.
Um vetor de V_{2} é (t,t,t). Para estar em V_{3} precisa satisfazer x=y-z, isto é
t = t - t \quad\Longrightarrow\quad t=0.
Portanto só o vetor nulo está na interseção:
V_{2}\cap V_{3}=\{(0,0,0)\}, \qquad \dim(V_{2}\cap V_{3})=0.

Passo 9

Calcular V_{1}+V_{2}.
Como vimos em

Passo 10

V_{1}+V_{2}=V_{1}, \qquad \dim(V_{1}+V_{2})=\dim(V_{1})=2.

Passo 11

Calcular V_{1}+V_{3}.
Usamos a fórmula da dimensão:
\dim(V_{1}+V_{3})=\dim(V_{1})+\dim(V_{3})-\dim(V_{1}\cap V_{3}).
Substituindo os valores encontrados:
\dim(V_{1}+V_{3})=2+2-1=3.
Como \mathbb{R}^3 tem dimensão 3, isso implica V_{1}+V_{3}=\mathbb{R}^3.
Uma verificação direta (útil na prova): tomar as bases
\{(1,1,0),(0,0,1)\} de V_{1} e (-1,0,1) de V_{3} (um vetor de V_{3} não em V_{1}); os três vetores
(1,1,0),(0,0,1),(-1,0,1) são linearmente independentes (determinante de matriz formada por eles é -1\neq0), logo geram \mathbb{R}^3.

Passo 12

Calcular V_{2}+V_{3}.
Usando a fórmula da dimensão:
\dim(V_{2}+V_{3})=\dim(V_{2})+\dim(V_{3})-\dim(V_{2}\cap V_{3})=1+2-0=3.
Logo V_{2}+V_{3}=\mathbb{R}^3.

Passo 13

Decidir quais somas são diretas.
Lembre que a soma U+W é direta (escreve-se U\oplus W) se e somente se U\cap W=\{0\}.
  • Para V_{2}\cap V_{3}=\{0\} (Passo 8) e V_{2}+V_{3}=\mathbb{R}^3, temos
\mathbb{R}^3 = V_{2}\oplus V_{3}.
Ou seja, V_{2} e V_{3} formam soma direta que é todo \mathbb{R}^3.
  • Para V_{1}\cap V_{3} não ser apenas \{0\} (Passo 7 mostrou dimensão 1), a soma V_{1}+V_{3} não é direta (mesmo sendo \mathbb{R}^3).
  • Para V_{1}\cap V_{2}=V_{2} (Passo 6), a soma V_{1}+V_{2}=V_{1} também não é direta (a interseção é grande).

Resposta

Base de V_{1}=\{(1,1,0),(0,0,1)!, \dim(V_{1})=2
Base de V_{2}=\{(1,1,1)\}, \dim(V_{2})=1
Base de V_{3}=\{(1,1,0),(-1,0,1)\}, \dim(V_{3})=2
V_{1}\cap V_{2}=V_{2}=\operatorname{span}\{(1,1,1)\}, \dim=1
V_{1}\cap V_{3}=\operatorname{span}\{(1,1,0)\}, \dim=1
V_{2}\cap V_{3}=\{(0,0,0)\}, \dim=0
V_{1}+V_{2}=V_{1}, \dim=2
V_{1}+V_{3}=\mathbb{R}^3, \dim=3
V_{2}+V_{3}=\mathbb{R}^3, \dim=3
Soma direta: \mathbb{R}^3=V_{2}\oplus V_{3}.

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