Considere os subespaços de
:
e
Verifique que:
Verifique que:
Passo 1
O enunciado dá três subespaços de
:
As verificações que vamos fazer (ou seja, as perguntas que vou responder) são:
- Mostrar que
. - Determinar
(mostrar qual é esse conjunto). - Mostrar que
(ou seja, que a soma dos subespaços é todo ).
Passo 2
Transformar cada descrição em forma paramétrica e achar uma base simples de cada subespaço — isso facilita todas as contas.
- Para
: a condição é . Então qualquer vetor de pode ser escrito como
Logo uma base conveniente é
. Portanto
.
- Para
: a condição é . Todo vetor de é da forma
Assim
é uma base de
e
.
- Para
: a condição é . Tome parâmetros e . Então
Logo uma base conveniente é
. Assim
.
Comentário didático rápido: uma base é um conjunto de vetores linearmente independentes que gera o subespaço. Dimensão é o número de vetores numa base. Transformar a equação em parâmetro é a maneira padrão de obter uma base.
Passo 3
Provar
.
Pegue um vetor arbitrário de
, que tem a forma
para algum
. Nesse vetor, claramente
e
, então
. Portanto
satisfaz a condição de
, logo
. Como o vetor foi arbitrário, concluímos
.
Explicação didática: para mostrar inclusão, basta pegar um elemento genérico do conjunto menor e verificar que ele satisfaz a condição do conjunto maior.
Passo 4
Determinar
.
Um vetor de
é
. Para que ele também esteja em
precisa satisfazer a equação de
, que é
. Substituindo
obtemos
Portanto o único vetor comum a
e
é
. Assim
Didática: resolver a intersecção entre duas subespaços normalmente significa impor simultaneamente as condições que definem cada um; aqui levou à única solução trivial.
Passo 5
Encontrar
(útil para a soma mais abaixo).
Usando as parametrizações do Passo 2, seja um vetor em
escrito como
. Se esse vetor também pertence a
, então deve existir
tais que
Comparando coordenadas obtemos o sistema
Da segunda equação
. Substituindo na primeira:
dá
. Então
. Assim qualquer vetor da interseção tem a forma
. Logo
que é uma reta (dimensão
).
Comentário prático: observar que ambas as bases de
e
compartilham o vetor
; isso já sugeria interseção não-trivial gerada por esse vetor.
Passo 6
Mostrar que
.
Usamos a fórmula de dimensão para a soma de subespaços:
Aqui tome
e
. Do Passo 2 temos
e
. Do Passo 5 temos
. Assim
Um subespaço de
com dimensão
só pode ser
inteiro. Portanto
Explicação didática: a fórmula acima é muito útil — ela diz que a soma de dimensões sem contar a sobreposição (interseção) nos dá a dimensão do subespaço gerado pela soma. Encontrar a dimensão igual a
garante que se gera todo
.
Passo 7
Consequências e checagens adicionais rápidas (para fixar a intuição).
- Já vimos
. -
(Passo 4). Como e , com interseção trivial segue que , logo . Como a interseção é , na verdade (soma direta). Esta é uma observação útil: embora , a soma de com já basta para gerar todo o espaço.