Considere os subespaços de R^{3} :
\left.V_{1}=\{x, y, z) \in R^{3} ; x=y\right\} ; V_{2}=\left\{(x, y, z) \in R^{3} ; x=y=z\right\} e V_{3}=\left\{(x, y, z) \in R^{3} ; x=y-z\right\}
Verifique que:

Passo 1

O enunciado dá três subespaços de \mathbb{R}^3:
V_{1}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=y\}, \qquad V_{2}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=y=z\}, \qquad V_{3}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=y-z\}.
As verificações que vamos fazer (ou seja, as perguntas que vou responder) são:
  1. Mostrar que V_{2}\subset V_{1}.
  2. Determinar V_{2}\cap V_{3} (mostrar qual é esse conjunto).
  3. Mostrar que V_{1}+V_{3}=\mathbb{R}^3 (ou seja, que a soma dos subespaços é todo \mathbb{R}^3).

Passo 2

Transformar cada descrição em forma paramétrica e achar uma base simples de cada subespaço — isso facilita todas as contas.
  • Para V_{1}: a condição é x=y. Então qualquer vetor de V_{1} pode ser escrito como
(x,y,z)=(x,x,z)=x(1,1,0)+z(0,0,1).
Logo uma base conveniente é \{(1,1,0),(0,0,1)\}. Portanto \dim V_{1}=2.
  • Para V_{2}: a condição é x=y=z. Todo vetor de V_{2} é da forma
(x,x,x)=x(1,1,1).
Assim \{(1,1,1)\} é uma base de V_{2} e \dim V_{2}=1.
  • Para V_{3}: a condição é x=y-z. Tome parâmetros a=y e b=z. Então
(x,y,z)=(a-b,a,b)=a(1,1,0)+b(-1,0,1).
Logo uma base conveniente é \{(1,1,0),(-1,0,1)\}. Assim \dim V_{3}=2.
Comentário didático rápido: uma base é um conjunto de vetores linearmente independentes que gera o subespaço. Dimensão é o número de vetores numa base. Transformar a equação em parâmetro é a maneira padrão de obter uma base.

Passo 3

Provar V_{2}\subset V_{1}.
Pegue um vetor arbitrário de V_{2}, que tem a forma (t,t,t) para algum t\in\mathbb{R}. Nesse vetor, claramente x=t e y=t, então x=y. Portanto (t,t,t) satisfaz a condição de V_{1}, logo (t,t,t)\in V_{1}. Como o vetor foi arbitrário, concluímos V_{2}\subset V_{1}.
Explicação didática: para mostrar inclusão, basta pegar um elemento genérico do conjunto menor e verificar que ele satisfaz a condição do conjunto maior.

Passo 4

Determinar V_{2}\cap V_{3}.
Um vetor de V_{2} é (t,t,t). Para que ele também esteja em V_{3} precisa satisfazer a equação de V_{3}, que é x=y-z. Substituindo x=y=z=t obtemos
t = t - t \quad\Rightarrow\quad t = 0.
Portanto o único vetor comum a V_{2} e V_{3} é (0,0,0). Assim
V_{2}\cap V_{3}=\{(0,0,0)\}.
Didática: resolver a intersecção entre duas subespaços normalmente significa impor simultaneamente as condições que definem cada um; aqui levou à única solução trivial.

Passo 5

Encontrar V_{1}\cap V_{3} (útil para a soma mais abaixo).
Usando as parametrizações do Passo 2, seja um vetor em V_{1} escrito como s(1,1,0)+u(0,0,1)=(s,s,u). Se esse vetor também pertence a V_{3}, então deve existir a,b tais que
(s,s,u)=a(1,1,0)+b(-1,0,1)=(a-b,a,b).
Comparando coordenadas obtemos o sistema
s=a-b,\qquad s=a,\qquad u=b.
Da segunda equação a=s. Substituindo na primeira: s=s-b b=0. Então u=b=0. Assim qualquer vetor da interseção tem a forma (s,s,0)=s(1,1,0). Logo
V_{1}\cap V_{3}=\operatorname{span}\{(1,1,0)\},
que é uma reta (dimensão 1).
Comentário prático: observar que ambas as bases de V_{1} e V_{3} compartilham o vetor (1,1,0); isso já sugeria interseção não-trivial gerada por esse vetor.

Passo 6

Mostrar que V_{1}+V_{3}=\mathbb{R}^3.
Usamos a fórmula de dimensão para a soma de subespaços:
\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W).
Aqui tome U=V_{1} e W=V_{3}. Do Passo 2 temos \dim V_{1}=2 e \dim V_{3}=2. Do Passo 5 temos \dim(V_{1}\cap V_{3})=1. Assim
\dim(V_{1}+V_{3})=2+2-1=3.
Um subespaço de \mathbb{R}^3 com dimensão 3 só pode ser \mathbb{R}^3 inteiro. Portanto
V_{1}+V_{3}=\mathbb{R}^3.
Explicação didática: a fórmula acima é muito útil — ela diz que a soma de dimensões sem contar a sobreposição (interseção) nos dá a dimensão do subespaço gerado pela soma. Encontrar a dimensão igual a 3 garante que se gera todo \mathbb{R}^3.

Passo 7

Consequências e checagens adicionais rápidas (para fixar a intuição).
  • Já vimos V_{2}\subset V_{1}.
  • V_{2}\cap V_{3}=\{0\} (Passo 4). Como \dim V_{2}=1 e \dim V_{3}=2, com interseção trivial segue que \dim(V_{2}+V_{3})=1+2=3, logo V_{2}+V_{3}=\mathbb{R}^3. Como a interseção é \{0\}, na verdade \mathbb{R}^3=V_{2}\oplus V_{3} (soma direta). Esta é uma observação útil: embora V_{2}\subset V_{1}, a soma de V_{2} com V_{3} já basta para gerar todo o espaço.

Resposta

V_{2}\subset V_{1}
V_{2}\cap V_{3}=\{(0,0,0)\}
V_{1}+V_{3}=\mathbb{R}^{3}

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