Dadas as bases A=[c-1 0 2],[l0 1 0],[l0 0 2] e B=[l0 0 1],[c0 -2 1],[c1 0 -1] do R^3.
Determine [I]B^A e [I]A^B.

Passo 1

O enunciado pede as matrizes de mudança de coordenadas do operador identidade
IcolonR^3toR^3,
entre as bases
A=a1,a2,a3 e B=b1,b2,b3
Para [I]B^A expressamos cada bj em coordenadas de A.
Para [I]A^B expressamos cada ai em coordenadas de B.

Passo 2

Base A:
a1=(-1,0,2),
a2=(0,1,0),
a3=(0,0,2).
Base B:
b1=(0,0,1),
b2=(0,-2,1),
b3=(1,0,-1).

Passo 3

Para [I]B^A resolvemos
x,a1+y,a2+z,a3=bj
em cada j:
b1=(0,0,1) (x,y,z)=(0,0,tfrac12).
b2=(0,-2,1) (x,y,z)=(0,-2,tfrac12).
b3=(1,0,-1) (x,y,z)=(-1,0,tfrac12).
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[I]B^A = 0 & 0 & -1 0 & -2 & 0 12 & 12 & 12

Passo 4

Para [I]A^B resolvemos
alpha,b1+beta,b2+gamma,b3=ai
em cada i:
a1=(-1,0,2) (alpha,beta,gamma)=(1,0,-1).
a2=(0,1,0) (alpha,beta,gamma)=(tfrac12,-tfrac12,0).
a3=(0,0,2) (alpha,beta,gamma)=(2,0,0).
Logo
[I]A^B = 1 & tfrac12 & 2 0 & -tfrac12 & 0 -1 & 0 & 0

Resposta

[I]B^A = 0 & 0 & -1 0 & -2 & 0 12 & 12 & 12 , [I]A^B = 1 & 12 & 2 0 & -12 & 0 -1 & 0 & 0

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