Considere os subespaços de R^4:
W1=[lx y z w] in R^4 / x+y=z e y+w=0 e
W2=[lx y z w] in R^4 / x=w e y=z
Determine os espaços W=W1+W2 e W1 cap W2 dando as respectivas bases e dimensões.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as bases e dimensões dos subespaços
W1=(x,y,z,w)inR^4mid x+y=z,;y+w=0
e
W2=(x,y,z,w)inR^4mid x=w,;y=z,
além de determinar
W = W1+W2 e W1cap W2.
Vamos parametrizar cada espaço para extrair sua base e dimensão, depois resolver para a interseção e usar a fórmula de dimensão da soma.

Passo 2

Parametrizando W1:
W1=(x,y,z,w)mid z=x+y,;w=-y =(x,y,x+y,-y)mid x,yinR
Logo
W1=span(1,0,1,0),,(0,1,1,-1)
Portanto
dim(W1)=2
e uma base é
(1,0,1,0),,(0,1,1,-1).

Passo 3

Parametrizando W2:
W2=(x,y,z,w)mid z=y,;w=x =(x,y,y,x)mid x,yinR
Logo
W2=span(1,0,0,1),,(0,1,1,0)
Portanto
dim(W2)=2
e uma base é
(1,0,0,1),,(0,1,1,0).

Passo 4

Para achar
Igualando obtemos

e
.
Assim , logo
e sua base é o conjunto vazio.

Passo 5

Como
dim(W1)+dim(W2)=2+2=4
e R^4 tem dimensão 4, segue da fórmula
dim(W1+W2)=dim(W1)+dim(W2)-dim(W1cap W2)
que
dim(W1+W2)=4.
Portanto
W1+W2=R^4
Uma base natural de W1+W2 é a base canônica
(1,0,0,0),,(0,1,0,0),,(0,0,1,0),,(0,0,0,1).

Resposta

W1=span(1,0,1,0),,(0,1,1,-1),;dim(W1)=2
W2=span(1,0,0,1),,(0,1,1,0),;dim(W2)=2
W1cap W2=0,;dim(W1cap W2)=0
W1+W2=R^4,;dim(W1+W2)=4

Exercícios relacionados