1. Considere os subespaços de R^3 :
    W1=(x, y, z) in R^3 ; x=y, W2=(x, y, z) in R^3 ; x=y=z e W3=(x, y, z) in R^3 ; x=y-z
    I. Determine:
    a) W1 cap W2.
    b) W1 cap W3.
    II. Verifique que:
    a) W1 cup W2 é subespaço de R^3.
    b) W1 cup W3 não é subespaço de R^3.

Passo 1

Resumo do enunciado: estamos em R^3 com os subespaços
W1=(x,y,z):x=y, W2=(x,y,z):x=y=z, W3=(x,y,z):x=y-z
Parte I: calcular W1cap W2 e W1cap W3.
Parte II: verificar se as uniões W1cup W2 e W1cup W3 são subespaços de R^3.
Conteúdo de matéria: interseção e união de subespaços e critério de subespaço (fechamento sob soma e multiplicação escalar, conter o vetor zero).

Passo 2

Para W1cap W2 precisamos de vetores que satisfaçam simultaneamente x=y (condição de W1) e x=y=z (condição de W2). Mas x=y=z já implica x=y, logo
W1cap W2 = (x,x,x):xinR = t,(1,1,1):tinR

Passo 3

Para W1cap W3 impomos
x=y e x=y-z
Substituindo x=y na segunda equação: y=y-z, de onde z=0. Assim
W1cap W3 = (x,x,0):xinR = t,(1,1,0):tinR

Passo 4

Verificação de W1cup W2. Note que W2subset W1 (todo vetor com x=y=z também satisfaz x=y). Portanto
W1cup W2=W1,
e como W1 é subespaço de R^3, a união também é subespaço.

Passo 5

Verificação de W1cup W3. Em geral a união de dois subespaços só é subespaço se um contiver o outro. Aqui não há inclusão mútua. Para dar um contra– exemplo de fechamento sob soma, escolha
u=(1,1,1)in W1setminus W3, v=(1,0,-1)in W3setminus W1
Então
u+v=(2,1,0),
e verificamos que (2,1,0)notin W1 (pois 2neq1) e (2,1,0)notin W3 (pois 2neq1-0). Logo u+vnotin W1cup W3, mostrando que a união não é fechada sob soma e portanto não é subespaço.

Resposta

I.
a) W1cap W2=(t,t,t):tinR
b) W1cap W3=(t,t,0):tinR
II.
a) W1cup W2 é subespaço de R^3 (pois W2subset W1).
b) W1cup W3 não é subespaço de R^3 (contra– exemplo de fechamento sob soma).

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