- Considere os subespaços de
:
e
I. Determine:
a)
.
b)
.
II. Verifique que:
a)
é subespaço de
.
b)
não é subespaço de
.
I. Determine:
a)
b)
II. Verifique que:
a)
b)
Passo 1
Resumo do enunciado: estamos em
com os subespaços
Parte I: calcular
e
.
Parte II: verificar se as uniões e
são subespaços de
.
Conteúdo de matéria: interseção e união de subespaços e critério de subespaço (fechamento sob soma e multiplicação escalar, conter o vetor zero).
Parte II: verificar se as uniões
Conteúdo de matéria: interseção e união de subespaços e critério de subespaço (fechamento sob soma e multiplicação escalar, conter o vetor zero).
Passo 2
Para
precisamos de vetores que satisfaçam simultaneamente
(condição de
) e
(condição de
). Mas
já implica
, logo
Passo 3
Para
impomos
Substituindo
na segunda equação:
, de onde
. Assim
Passo 4
Verificação de
. Note que
(todo vetor com
também satisfaz
). Portanto
e como
é subespaço de
, a união também é subespaço.
Passo 5
Verificação de
. Em geral a união de dois subespaços só é subespaço se um contiver o outro. Aqui não há inclusão mútua. Para dar um contra– exemplo de fechamento sob soma, escolha
Então
e verificamos que
(pois
) e
(pois
). Logo
, mostrando que a união não é fechada sob soma e portanto não é subespaço.
Resposta
I.
a)
b)
a)
b)
II.
a) é subespaço de
(pois
).
b) não é subespaço de
(contra– exemplo de fechamento sob soma).
a)
b)