Questão 18. Dados os vetores u=i-j-k, v=i-3 j+2 k e w=i+j+2 k :
Encontre [,u, v, 3 w]

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores
u=(1,-1,-1), v=(1,-3,2) e w=(1,1,2) e pede o produto misto escalar
[,u,v,3w,].
O conteúdo aqui é produto misto escalar em R^3, que pode ser calculado como
ucdotl(vtimes(3w)r) ou como determinante de uma matriz 3times3.

Passo 2

Usamos a linearidade do produto misto na terceira entrada:
[,u,v,3w,] =ucdotl(vtimes(3w)r) =3,ucdot(vtimesw) =3,[,u,v,w,]
Assim basta calcular [,u,v,w,].

Passo 3

Escrevemos [,u,v,w,] como determinante das colunas formadas por u,v,w:
[,u,v,w,] =det 1 & 1 & 1 -1 & -3 & 1 -1 & 2 & 2

Passo 4

Expandindo por co-fatores na primeira linha, obtemos
det 1 & 1 & 1 -1 & -3 & 1 -1 & 2 & 2 =1l((-3)cdot2 - 1cdot2r) -1l((-1)cdot2 - 1cdot(-1)r) +1l((-1)cdot2 - (-3)cdot(-1)r)
Calculando cada termo:
(-3)cdot2 - 1cdot2 = -6 - 2 = -8, (-1)cdot2 - 1cdot(-1) = -2 + 1 = -1, (-1)cdot2 - (-3)cdot(-1) = -2 - 3 = -5
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[,u,v,w,] =-8 ;-;(-1);+;(-5) =-8 +1 -5 =-12

Passo 5

Voltando a [,u,v,3w,]=3,[,u,v,w,], temos
[,u,v,3w,] =3cdot(-12) =-36

Resposta

-36

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