Seja V=M2(R) e beta=(ll1 & 1 1 & 0),(ll1 & 1 0 & 0),(ll0 & 1 1 & 0),(ll0 & 1 0 & 1) uma base para V.
Encontre as coordenadas dos vetores da base canônica beta^prime=(ll1 & 0 0 & 0),(ll0 & 1 0 & 0),(ll0 & 0 1 & 0),(ll0 & 0 0 & 1) em relação à base beta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar as coordenadas dos vetores da base canônica beta' em relação à base beta no espaço V = M2(R) . Isso envolve entender mudança de base em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar saber como expressar cada matriz da base canônica como uma combinação linear das matrizes da base beta .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são essas bases. A base beta é composta pelas seguintes matrizes:
beta = 1 & 1 1 & 0 , 1 & 1 0 & 0 , 0 & 1 1 & 0 , 0 & 1 0 & 1
Enquanto a base canônica beta' é:
beta' = 1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1
Nosso objetivo é encontrar, para cada matriz em beta' , os coeficientes que, quando multiplicados pelas matrizes de beta e somados, resultam na matriz canônica correspondente.

Passo 3

Vamos começar com a primeira matriz da base canônica:
Queremos encontrar números [a, b, c, d) tais que:
Isso resulta em um sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de (a, b, c, d].

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  1. Da última equação, d = 0 .
  2. Da terceira equação, 0 = a + c => c = -a .
  3. Substituindo d = 0 e c = -a na segunda equação:
0 = a + b - a + 0 Rightarrow b = 0
  1. Da primeira equação, 1 = a + 0 => a = 1 .
  2. Então, c = -1 e d = 0 .
Portanto, a coordenada da primeira matriz canônica em relação a beta é (1, 0, -1, 0) .

Passo 5

Vamos repetir o processo para a segunda matriz canônica:
0 & 1 0 & 0 = a 1 & 1 1 & 0 + b 1 & 1 0 & 0 + c 0 & 1 1 & 0 + d 0 & 1 0 & 1
Isso nos dá:
0 = a + b 1 = a + b + c + d 0 = a + c 0 = d
Resolvendo:
  1. d = 0 .
  2. c = -a .
  3. Da primeira equação, 0 = a + b => b = -a .
  4. Substituindo na segunda equação:
1 = a - a - a + 0 Rightarrow -a = 1 Rightarrow a = -1
  1. Então, b = 1 e c = 1 .
A coordenada da segunda matriz canônica é (-1, 1, 1, 0) .

Passo 6

Agora, a terceira matriz canônica:
0 & 0 1 & 0 = a 1 & 1 1 & 0 + b 1 & 1 0 & 0 + c 0 & 1 1 & 0 + d 0 & 1 0 & 1
Sistema de equações:
0 = a + b 0 = a + b + c + d 1 = a + c 0 = d
Resolvendo:
  1. d = 0 .
  2. c = 1 - a .
  3. Da primeira equação, b = -a .
  4. Plugando na segunda equação:
0 = a - a + (1 - a) + 0 Rightarrow 1 - a = 0 Rightarrow a = 1
  1. Então, b = -1 e c = 0 .
A coordenada da terceira matriz canônica é (1, -1, 0, 0) .

Passo 7

Por fim, a quarta matriz canônica:
0 & 0 0 & 1 = a 1 & 1 1 & 0 + b 1 & 1 0 & 0 + c 0 & 1 1 & 0 + d 0 & 1 0 & 1
Sistema de equações:
0 = a + b 0 = a + b + c + d 0 = a + c 1 = d
Resolvendo:
  1. d = 1 .
  2. c = -a .
  3. Da primeira equação, b = -a .
  4. Substituindo na segunda equação:
0 = a - a - a + 1 Rightarrow -a + 1 = 0 Rightarrow a = 1
  1. Então, b = -1 e c = -1 .
A coordenada da quarta matriz canônica é (1, -1, -1, 1) .

Resposta

As coordenadas dos vetores da base canônica beta' em relação à base beta são:
1 & 0 0 & 0 & (1, 0, -1, 0) 0 & 1 0 & 0 & (-1, 1, 1, 0) 0 & 0 1 & 0 & (1, -1, 0, 0) 0 & 0 0 & 1 & (1, -1, -1, 1)

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