Seja o espaço vetorial
com o produto interno usual e o subespaço vetorial
. Determine:
Uma base ortogonal para
Uma base ortogonal para
Passo 1
O enunciado define o espaço
com o produto interno usual
e o subespaço
Queremos encontrar uma base ortogonal de
. Para isso vamos:
- Expressar uma base natural de
. - Aplicar o processo de Gram–Schmidt com o produto interno dado.
Passo 2
Escolhemos três matrizes que geram
conforme os parâmetros
. De fato,
Logo
M1,M2,M3 é uma base qualquer de
H .
Passo 3
Calculamos agora os produtos internos necessários:
Passo 4
Aplicando Gram–Schmidt:
-
u1 = M1
Como
lang<= M3,u1rang<==0 e
lang<= M3,u2rang<==1 , além de
lang<= u2,u2rang<==3/2 , obtemos
Passo 5
Para simplificar, podemos multiplicar
u2 e
u3 por escalares não nulos sem quebrar a ortogonalidade. Por exemplo:
Verifica-se facilmente que
lang<= vi,vjrang<==0 para
ineq j .
Resposta
Uma base ortogonal de
H é, por exemplo,