Seja o espaço vetorial V=M2(R) com o produto interno usual e o subespaço vetorial H=[cca & a+b b+c & c] ; a, b, c in R subset M2(R). Determine:
Uma base ortogonal para H

Passo 1

O enunciado define o espaço V = M2(R) com o produto interno usual
lang<= A, Brang<= = tr(A^TB)
e o subespaço
H = la & a+b b+c & c : a,b,cinRr
Queremos encontrar uma base ortogonal de H. Para isso vamos:
  1. Expressar uma base natural de H.
  2. Aplicar o processo de Gram–Schmidt com o produto interno dado.

Passo 2

Escolhemos três matrizes que geram H conforme os parâmetros a,b,c. De fato,
a & a+b b+c & c = aunderbrace1 & 10 & 0M1 + bunderbrace0 & 11 & 0M2 + cunderbrace0 & 01 & 1M3
Logo M1,M2,M3 é uma base qualquer de H.

Passo 3

Calculamos agora os produtos internos necessários:
lang<= M1,M1rang<= = 1^2+1^2 = 2, lang<= M2,M2rang<= = 1^2+1^2 = 2, lang<= M3,M3rang<= = 1^2+1^2 = 2,
lang<= M2,M1rang<= = 0cdot1 + 1cdot1 + 1cdot0 + 0cdot0 = 1, lang<= M3,M1rang<= = 0, lang<= M3,M2rang<= = 1

Passo 4

Aplicando Gram–Schmidt:
  1. u1 = M1
u2 = M2 - lang<= M2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 = M2 - 12M1 = 0 & 11 & 0 - 121 & 10 & 0 = -tfrac12 & tfrac121 & 0
u3 = M3 - lang<= M3,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 - lang<= M3,u2rang<=lang<= u2,u2rang<=,u2
Como lang<= M3,u1rang<==0 e lang<= M3,u2rang<==1, além de lang<= u2,u2rang<==3/2, obtemos
u3 = M3 - 13/2,u2 = 0&01&1 - tfrac23-tfrac12 & tfrac121 & 0 = tfrac13 & -tfrac13tfrac13 & 1

Passo 5

Para simplificar, podemos multiplicar u2 e u3 por escalares não nulos sem quebrar a ortogonalidade. Por exemplo:
v1 = u1 = 1 & 10 & 0, v2 = 2,u2 = -1 & 12 & 0, v3 = 3,u3 = 1 & -11 & 3
Verifica-se facilmente que lang<= vi,vjrang<==0 para ineq j.

Resposta

Uma base ortogonal de H é, por exemplo,
1 & 10 & 0, ; -1 & 12 & 0, ; 1 & -11 & 3

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