Seja o espaço vetorial V=M2(R) com o produto interno usual e o subespaço vetorial H=[cca & a+b b+c & c] ; a, b, c in R subset M2(R). Determine:
O complemento ortogonal de H

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V = M2(R) com o produto interno usual
lang<= A, Brang<= = tr(A^TB)
e o subespaço
H = a & a+b[6pt] b+c & c ;; a,b,cinR
Precisamos encontrar
H^perp = Xin M2(R) : lang<= X,Yrang<= = 0;forall,Yin H ]

Passo 2

Seja
X = x11 & x12[4pt] x21 & x22
um elemento genérico de M2(R). Para todo
Y = a & a+b[4pt] b+c & cin H,
devemos ter lang<= X,Yrang<= = 0.]

Passo 3

Escrevemos o produto interno
lang<= X,Yrang<= = x11,a + x12,(a+b) + x21,(b+c) + x22,c
Agrupando os termos conforme os parâmetros a,b,c, obtemos
lang<= X,Yrang<= = a,(x11 + x12) + b,(x12 + x21) + c,(x21 + x22)
Para anular esta expressão para todo a,b,c, cada coeficiente deve ser zero.

Passo 4

Impondo
x11 + x12 = 0,[4pt] x12 + x21 = 0,[4pt] x21 + x22 = 0,
seguem as igualdades
x12 = -x11, x21 = -x12 = x11, x22 = -x21 = -x11
Logo
X = x111 & -1[4pt]1 & -1 ]

Resposta

H^perp = spanl1 & -1[4pt]1 & -1r ]

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