Considere os subespaços vetoriais U e V de C^infty(R) cujas bases são, respectivamente, B=cos x, sen x e C=e^x cos x, e^x sen x, e^2 x cos x, e^2 xsen x. Determine as matrizes dos operadores de derivação f in U mapsto f^prime in U e f in V mapsto f^prime in V em relação às bases B e C, respectivamente.

Passo 1

O enunciado quer as matrizes do operador linear “derivação” em dois subespaços de C^infty(R):
U=spancos x,sen x com base B=cos x,sen x.
V=spane^xcos x,e^xsen x,e^2xcos x,e^2xsen x com base C.
Para cada caso, calculamos D(f)=f' sobre cada vetor da base e escrevemos as coordenadas desse resultado na mesma base, formando as colunas da matriz.

Passo 2

Em U, temos
D(cos x) = -sen x = 0cdotcos x + (-1)cdotsen x,
D(sen x) = cos x = 1cdotcos x + 0cdotsen x
Logo, em relação a B=(cos x,sen x), a matriz é
[MU]B = 0 & 1 -1& 0 ,
onde a primeira coluna vem de D(cos x) e a segunda de D(sen x).

Passo 3

Em V, indexamos a base C como
(f1,f2,f3,f4)=(e^xcos x,e^xsen x,e^2xcos x,e^2xsen x).
Calculamos:
D(e^xcos x)=e^xcos x - e^xsen x, D(e^xsen x)=e^xcos x + e^xsen x,
D(e^2xcos x)=2e^2xcos x - e^2xsen x, D(e^2xsen x)=e^2xcos x +2e^2xsen x
Escrevendo em coordenadas (f1,f2,f3,f4), obtemos as colunas
l D(f1)=(1,-1,0,0)^T, D(f2)=(1,,1,0,0)^T, D(f3)=(0,0,2,-1)^T, D(f4)=(0,0,1,,2)^T
Portanto,
[MV]C = 1 & 1 & 0 & 0 -1& 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 1 0 & 0 & -1& 2

Resposta

Em relação às bases dadas, as matrizes do operador derivação são:
[MU]B=0 & 1-1 & 0,
[MV]C= 1 & 1 & 0 & 0 -1& 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 1 0 & 0 & -1& 2 .

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