Considere os subespaços vetoriais e de cujas bases são, respectivamente, e . Determine as matrizes dos operadores de derivação e em relação às bases e , respectivamente.
Passo 1
O enunciado quer as matrizes do operador linear “derivação” em dois subespaços de :
– com base .
– com base .
Para cada caso, calculamos sobre cada vetor da base e escrevemos as coordenadas desse resultado na mesma base, formando as colunas da matriz.
Passo 2
Em , temos
Logo, em relação a , a matriz é
onde a primeira coluna vem de D(cos x) e a segunda de D(sen x).
Passo 3
Em V, indexamos a base C como (f1,f2,f3,f4)=(e^xcos x,e^xsen x,e^2xcos x,e^2xsen x).
Calculamos:
D(e^xcos x)=e^xcos x - e^xsen x, D(e^xsen x)=e^xcos x + e^xsen x,
D(e^2xcos x)=2e^2xcos x - e^2xsen x, D(e^2xsen x)=e^2xcos x +2e^2xsen x
Escrevendo em coordenadas (f1,f2,f3,f4), obtemos as colunas
l D(f1)=(1,-1,0,0)^T, D(f2)=(1,,1,0,0)^T, D(f3)=(0,0,2,-1)^T, D(f4)=(0,0,1,,2)^T