Se T: P1(R) P2(R) é a transformação linear cuja matriz em relação às bases B=1,1+t de P1(R) e C=2+t^2, t+t^2, 1-t^2 de P2(R) é [cc1 & 0 -2 & 1 1 & 3]. Então, T(1+2 t) é igual a
(A) 1+7 t^2
(B) 3+4 t-2 t^2
(C) 5+4 t-t^2
(D) -1+4 t+5 t^2
(E) 9-6 t^2

Passo 1

Resumindo, temos T:P1(R)toP2(R) cuja matriz na base B=1,1+t do domínio e na base C=2+t^2,,t+t^2,,1-t^2 do contradomínio é
1 & 0 -2 & 1 1 & 3
Precisamos achar T(1+2t). Para isso vamos: (1) expressar 1+2t em coordenadas na base B, (2) usar a matriz para obter as coordenadas de T(1+2t) em C e (3) recompor o polinômio.

Passo 2

Escrevemos
1+2t = acdot1 + bcdot(1+t)
Comparando coeficientes em 1+2t = (a+b)+b,t obtemos b=2 e a+b=1implies a=-1. Logo as coordenadas de 1+2t em B são -12.

Passo 3

Aplicando T, as coordenadas de T(1+2t) em C são
1 & 0 -2 & 1 1 & 3 -12 = -1 1-21 +2 013 = -1+02+2-1+6 = -145

Passo 4

Essas coordenadas significam
T(1+2t) = -1,(2+t^2) ;+;4,(t+t^2);+;5,(1-t^2)
Desenvolvendo:
-2 - t^2 +4t+4t^2 +5 -5t^2 =3 +4t -2t^2

Resposta

3+4t-2t^2, alternativa (B).

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