Qual é a matriz, relativamente à base canônica, do operador linear T: R^2 R^2 tal que T(2,3)=(2,3) e T(-3,2)=(0,0)?

Passo 1

O enunciado define um operador linear Tcolon R^2toR^2 tal que
T(2,3)=(2,3), T(-3,2)=(0,0)
Queremos achar a matriz A de T na base canônica, isto é, T(x)=A,x para todo xinR^2.

Passo 2

Definimos v1=(2,3) e v2=(-3,2). Para ver que v1,v2 é uma base de R^2, calculamos
det2 & -33 & 2 =2cdot2-(-3)cdot3 =4+9 =13neq0

Passo 3

Em relação à base B=v1,v2 temos
T(v1)=1cdot v1, T(v2)=0cdot v2,
ou seja, a matriz de T em B é
D=1&00&0
Seja
P=2&-33&2,
cuja coluna 1 é v1 e coluna 2 é v2. Então na base canônica
A=P,D,P^-1

Passo 4

Para não calcular P^-1 explicitamente, achamos A e1 e A e2 escrevendo
e1=(1,0)=alpha,v1+beta,v2, e2=(0,1)=alpha',v1+beta',v2
e usando T(v2)=0, de modo que A ei=T(ei)=alphai,v1.

Passo 5

Resolvendo
2alpha-3beta=1, 3alpha+2beta=0
encontra-se alpha=2/13, beta=-3/13. Logo
A e1=alpha,v1 =213(2,3) =l(tfrac413,tfrac613r)

Passo 6

Resolvendo
2alpha'-3beta'=0, 3alpha'+2beta'=1
acha-se alpha'=3/13, beta'=2/13. Assim
A e2=alpha',v1 =313(2,3) =l(tfrac613,tfrac913r)

Passo 7

Como as colunas de A são A e1 e A e2, obtemos
A= tfrac413&tfrac613 tfrac613&tfrac913 =1134&66&9

Resposta

A=1134&66&9

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