Seja A=[ccc1 & a & b -a & 1 & c -b & -c & 1]. Calcule det A e verifique que A é invertível, quaisquer que sejam os valores de a, b e c.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de det A para
A = 1 & a & b -,a & 1 & c -,b & -,c & 1
e em seguida verificar que A é invertível para quaisquer valores de a,b,c. O conteúdo é a expansão do determinante de uma matriz 3times3 e a noção de que uma matriz é invertível se, e somente se, seu determinante for não nulo.

Passo 2

Vamos expandir det A pela primeira linha. Chamando a matriz de cofatores:
det A = 1cdotdet1 & c -c & 1 - acdotdet-a & c -b & 1 + bcdotdet-a & 1 -b & -c

Passo 3

Calcule cada menor:
det1 & c -c & 1 =1cdot1 - ccdot(-c)=1+c^2,
det-a & c -b & 1 =(-a)cdot1 - ccdot(-b) = -a + bc,
det-a & 1 -b & -c =(-a)(-c) - 1cdot(-b)=ac + b
Substituindo na expansão:
det A = (1+c^2) - a(-a+bc) + b(ac+b)
Distribuindo e somando termos semelhantes obtemos
det A = 1 + c^2 + a^2 - abc + abc + b^2 = 1 + a^2 + b^2 + c^2

Passo 4

Como
det A = 1 + a^2 + b^2 + c^2,
essa expressão é sempre estritamente positiva para quaisquer a,b,cinR. Logo det Aneq0 e, portanto, A é invertível em qualquer caso.

Resposta

det A = 1 + a^2 + b^2 + c^2,
que é sempre maior que zero, mostrando que A é invertível para quaisquer valores de a,b,c.

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