Considere os subespaços vetoriais de
definidos por:
Considerando que
, podemos dizer que
? Em caso positivo, a soma e direta? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá dois subespaços de
:
definido pelas equações
e
gerado pelos vetores
,
,
, com
.
Queremos ver se e se a soma é direta. Usaremos bases, cálculo de
,
e a fórmula
Queremos ver se
Passo 2
Resolvendo as equações de
: de
e
Podemos então tomar
e
livres, dando o parâmetro
.
Isto produz a base de :
Isto produz a base de
logo
.
Passo 3
Nosso conjunto gerador de
tem três vetores mas
. Note que
então uma base de
é
e todo
escreve-se
Passo 4
Para achar
, imponha
em ambas as descrições. Em
há
e
. Em
há
e
. Igualando
:
mas
dá
. Logo
e então
. Só sobra o vetor nulo.
Assim .
Assim
Passo 5
Aplicando a fórmula de dimensão:
Como
é subespaço de
de dimensão
, segue
. Além disso,
implica que a soma é direta:
Resposta
Sim,
e a soma é direta, pois
.