Considere os subespaços vetoriais de R^4 definidos por:
U=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y+3 z-t=0 e x=-y W=[(1,0,0,2),(0,1,0,2),(1,-1,0,0)]
Considerando que dim W=2, podemos dizer que U+W=R^4 ? Em caso positivo, a soma e direta? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de R^4:
U definido pelas equações
x - y + 3z - t = 0 e x = -y,
e
W gerado pelos vetores (1,0,0,2), (0,1,0,2), (1,-1,0,0), com dim W=2.
Queremos ver se U+W=R^4 e se a soma é direta. Usaremos bases, cálculo de dim U, dim(Ucap W) e a fórmula
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W)

Passo 2

Resolvendo as equações de U: de x=-y e
x - y + 3z - t = 0 ;Longrightarrow; (-y)-y+3z-t=0 ;Longrightarrow; t=-2y+3z
Podemos então tomar y e z livres, dando o parâmetro (y,z)mapsto(x,y,z,t)=(-y,y,z,-2y+3z).
Isto produz a base de U:
(-1,1,0,-2), (0,0,1,3),
logo dim U=2.

Passo 3

Nosso conjunto gerador de W tem três vetores mas dim W=2. Note que
(1,-1,0,0)=(1,0,0,2)-(0,1,0,2),
então uma base de W é
w1=(1,0,0,2), w2=(0,1,0,2),
e todo win W escreve-se
w=a,w1+b,w2=(a,b,0,2a+2b)

Passo 4

Para achar Ucap W, imponha (x,y,z,t) em ambas as descrições. Em W z=0 e t=2(x+y). Em U x=-y e t=-2y+3z=-2y. Igualando t:
-2y=2(x+y),
mas x=-y 2(x+y)=2(-y+y)=0. Logo -2y=0implies y=0implies x=0 e então t=0. Só sobra o vetor nulo.
Assim dim(Ucap W)=0.

Passo 5

Aplicando a fórmula de dimensão:
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W) =2+2-0=4
Como U+W é subespaço de R^4 de dimensão 4, segue U+W=R^4. Além disso, dim(Ucap W)=0 implica que a soma é direta:
Uoplus W=R^4

Resposta

Sim, U+W=R^4 e a soma é direta, pois dim(Ucap W)=0.

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