Considere os subespaços vetoriais de R^4 definidos por:
U=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y+3 z-t=0 e x=-y W=[(1,0,0,2),(0,1,0,2),(1,-1,0,0)]
Encontre condições sobre (x, y, z, t) para que este pertença a W.

Passo 1

O espaço W é gerado pelos vetores
(1,0,0,2),(0,1,0,2),(1,-1,0,0)
em R^4. Para saber quando (x,y,z,t) pertence a W, vamos escrever (x,y,z,t) como combinação linear desses geradores.

Passo 2

Suponha que
(x,y,z,t) =alpha,(1,0,0,2)+beta,(0,1,0,2)+gamma,(1,-1,0,0)
Então, agrupando coordenadas, obtemos
(x,y,z,t)=(alpha+gamma,;beta-gamma,;0,;2alpha+2beta)

Passo 3

Comparando componentes, temos o sistema
alpha+gamma = x, beta-gamma = y, 0 = z, 2alpha+2beta = t
Da terceira equação segue imediatamente
z=0
Das duas primeiras podemos escrever alpha=x-gamma e beta=y+gamma. Substituindo na quarta:
t = 2alpha+2beta =2(x-gamma)+2(y+gamma) =2x+2y

Resposta

As condições necessárias e suficientes para (x,y,z,t) pertencer a W são
z = 0 e t = 2,(x+y)

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