Sejam beta=(1,0,2),(0,1,-1),(1,1,3) e beta^prime=(1,1,1),(1,-1,5),(-1,0,-4) bases de R^3. Encontre as matrizes de mudança de base [I]beta^beta^prime e [I]beta^prime^beta.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^3:
beta=v1=(1,0,2),,v2=(0,1,-1),,v3=(1,1,3) e
beta'=w1=(1,1,1),,w2=(1,-1,5),,w3=(-1,0,-4).
Queremos as matrizes de mudança de base
[I]beta^beta' (que leva coordenadas em beta para coordenadas em beta')
e [I]beta'^beta (o inverso).

Passo 2

Montamos as matrizes cujas colunas são os vetores das bases em coordenadas canônicas:
A = [,v1;v2;v3,] = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 2 & -1 & 3 , B = [,w1;w2;w3,] = 1 & 1 & -1 1 & -1 & 0 1 & 5 & -4
Então
[I]beta^beta' = B^-1A e [I]beta'^beta = (B^-1A)^-1 = A^-1B

Passo 3

Calculamos B^-1 por adjunta. O determinante de B é det B=2 e
B^-1=12 4 & -1 & -1 4 & -3 & -1 6 & -4 & -2 = 2 & -tfrac12 & -tfrac12 2 & -tfrac32 & -tfrac12 3 & -2 & -1
Multiplicando B^-1A obtemos
[I]beta^beta' = 1&0&0 1&-1&-1 1&-1&-2

Passo 4

Para achar [I]beta'^beta basta inverter
1&0&01&-1&-11&-1&-2.
Resolvendo M x=ej para M=[I]beta^beta' achamos
[I]beta'^beta = 1&0&0 1&-2&1 0&1&-1

Resposta

[I]beta^beta' = 1 & 0 & 0 1 & -1 & -1 1 & -1 & -2 , [I]beta'^beta = 1 & 0 & 0 1 & -2 & 1 0 & 1 & -1

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