Considere os subespaços vetoriais de R^4 definidos por:
U=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y+3 z-t=0 e x=-y W=[(1,0,0,2),(0,1,0,2),(1,-1,0,0)]
Determine o subespaço U cap W e calcule sua dimensão.

Passo 1

O enunciado pede o subespaço Ucap W, onde
U=(x,y,z,t)inR^4 : x-y+3z-t=0 e x=-y,
e
W=spanl(1,0,0,2),,(0,1,0,2),,(1,-1,0,0)r
O conteúdo é interseção de subespaços vetoriais em R^4; vamos parametrizar cada um e igualar.

Passo 2

Parametrizamos U. Da condição x=-y substituímos em x-y+3z-t=0:
(-y)-y+3z-t=0Longrightarrow t=3z-2y
Logo
(x,y,z,t)=(-y,y,z,3z-2y) = y,(-1,1,0,-2)+z,(0,0,1,3)
Assim (-1,1,0,-2),(0,0,1,3) é uma base de U e dim U=2.

Passo 3

Examinamos os geradores de W:
v1=(1,0,0,2), v2=(0,1,0,2), v3=(1,-1,0,0)
Note que
v1 - v3 = (1,0,0,2)-(1,-1,0,0) = (0,1,0,2)=v2,
ou seja, v2 é combinação de v1 e v3. Portanto uma base de W é v1,v3 e dim W=2.

Passo 4

Tomemos um vetor genérico de W:
w = a cdot v1 + b cdot v3 = a cdot (1,0,0,2) + b cdot (1,-1,0,0) = (a+b,,-b,,0,,2a)
Para que w in U, deve satisfazer
x = -y e x - y + 3z - t = 0

Passo 5

Escrevendo w=(x,y,z,t)=(a+b,,-b,,0,,2a):
1. Da condição x=-y:
a+b = -(-b)Longrightarrow a+b = b Longrightarrow a=0
2. Da condição x-y+3z-t=0:
(a+b)-(-b)+3cdot0 - 2a = 0 Longrightarrow a+b+b -2a =0 Longrightarrow -a+2b=0
Como já achamos a=0, a segunda vira 2b=0, ou seja b=0.
Logo a=b=0, e w=0. Não há outro vetor comum.

Resposta

Ucap W=(0,0,0,0) e dim(Ucap W)=0.

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