Resolva os itens:
(c) Encontre os valores reais de lambda tais que o conjunto abaixo seja linearmente dependente (LD):
-lambda x+1,-x^2+lambda, x^2-2 x+1

Passo 1

O enunciado pede os valores reais de lambda tais que o conjunto de polinômios
-lambda x + 1,; -x^2 + lambda,; x^2 - 2x + 1
seja linearmente dependente em P2. Para isso, vamos representar cada polinômio na base canônica 1, x, x^2, montar a matriz de coordenadas e exigir que seu determinante seja zero.

Passo 2

Escrevendo cada polinômio na base 1, x, x^2:
-lambda x + 1 longmapsto [1,; -lambda,; 0],
-x^2 + lambda longmapsto [lambda,; 0,; -1],
x^2 - 2x + 1 longmapsto [1,; -2,; 1]

Passo 3

Montamos a matriz cujas colunas são esses vetores:
A = 1 & lambda & 1 -lambda & 0 & -2 0 & -1 & 1
Calculamos o determinante de A. Usando a expansão pela primeira linha:
det(A) = 1cdotdet0 & -2-1 & 1 - lambdacdotdet-lambda & -20 & 1 + 1cdotdet-lambda & 00 & -1
Vamos simplificar cada menor:
det0 & -2-1 & 1 = 0cdot1 - (-2)cdot(-1) = -2,
det-lambda & -20 & 1 = -lambdacdot1 - (-2)cdot0 = -lambda,
det-lambda & 00 & -1 = -lambdacdot(-1) - 0cdot0 = lambda
Substituindo:
det(A) = 1cdot(-2) - lambdacdot(-lambda) + 1cdotlambda = -2 + lambda^2 + lambda = lambda^2 + lambda - 2

Passo 4

O conjunto é linearmente dependente exatamente quando det(A)=0. Então
lambda^2 + lambda - 2 = 0 Longrightarrow (lambda+2)(lambda-1)=0 Longrightarrow lambda = 1 ;ou;lambda = -2

Resposta

lambda = 1 ou lambda = -2.

Exercícios relacionados