Resolva os itens:
(b) Encontre as cooordenadas de x^2-x+5 in P2(R) em relação à base beta=x^2+1, x, x^2-1 de P2(R).

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas do polinômio ,x^2 - x + 5 em P2( R) relativas à base
beta = ,x^2+1,;x,;x^2-1.
O conteúdo aqui é mudança de base em espaço de polinômios: vamos expressar o polinômio alvo como combinação linear dos vetores da base.

Passo 2

Suponha que
(a,b,c)
sejam as coordenadas de ,x^2 - x + 5 em relação a beta. Então devemos ter
a,(x^2+1);+;b,x;+;c,(x^2-1);=;x^2 - x + 5

Passo 3

Expanda o lado esquerdo e agrupe os coeficientes de cada potência de x:
a(x^2+1)+b x+c(x^2-1) =(a+c),x^2 ;+;b,x;+;(a-c)
Igualando termo a termo a x^2 - x + 5, obtemos o sistema
a + c = 1, b = -1, a - c = 5

Passo 4

Para resolver o sistema, some as duas equações que envolvem a e c:
(a+c)+(a-c)=1+5 implies 2a=6 implies a=3
Então de a+c=1 vem c=1-3=-2. E já tínhamos b=-1.

Resposta

[,x^2 - x + 5,]beta = (3,,-1,,-2)

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