Considere os subespaços vetoriais de R^4 definidos por:
U=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y+3 z-t=0 e x=-y W=[(1,0,0,2),(0,1,0,2),(1,-1,0,0)]
Encontre uma base e a dimensão de U.

Passo 1

O enunciado define o subespaço UsubsetR^4 pelas duas equações lineares seguintes:
x - y + 3z - t = 0, x = -y
Pedem para encontrar uma base de U e sua dimensão. O conteúdo aqui é resolver um sistema homogêneo e parametrizar seu espaço solução.

Passo 2

Temos 4 incógnitas e 2 equações lineares independentes. Pelo teorema do posto,

Passo 3

Da segunda equação vem
x = -y
Substituindo em x - y + 3z - t = 0, obtemos
-,y - y + 3z - t = 0 ;Longrightarrow; -2y + 3z - t = 0 ;Longrightarrow; y = 3z - t2, x = -3z - t2

Passo 4

Escolhendo z e t como parâmetros livres, digamos z=s e t=u, um vetor genérico de U é
(x,y,z,t) =l(-tfrac3s - u2,,tfrac3s - u2,,s,,ur) = sl(-tfrac32,,tfrac32,,1,,0r) +ul(tfrac12,,-tfrac12,,0,,1r)

Passo 5

Para evitar frações, multiplicamos os vetores-guia por 2 e obtemos os geradores
v1 = (-3,,3,,2,,0), v2 = (1,,-1,,0,,2)
Eles são linearmente independentes e geram todo U, portanto formam uma base.

Resposta

Uma base de U é
(-3,3,2,0),,(1,-1,0,2),
e dim(U)=2.

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