Resolva os itens:
(a) Considere
uma matriz fixa. Mostre que o subconjunto
é um subespaço de
.
(a) Considere
Passo 1
O enunciado fixa uma matriz
e define o conjunto
Queremos mostrar que
é um subespaço de
. Para isso precisamos verificar três propriedades:
- o elemento zero de
pertence a , -
é fechado sob soma, -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos que a matriz zero, denotada por
, pertence a
. Como a multiplicação por zero satisfaz
segue que
, logo
.
Passo 3
Agora tomemos
. Isso significa que
Queremos ver que
também comuta com
. De fato,
então
.
Passo 4
Por fim, vejamos a multiplicação por escalar. Se
e
, então
logo
.
Passo 5
Como
contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
.