Resolva os itens:
(a) Considere M in Mn(R) uma matriz fixa. Mostre que o subconjunto U=A in Mn(R) ; A M=M A é um subespaço de Mn(R).

Passo 1

O enunciado fixa uma matriz Min Mn(R) e define o conjunto
U = Ain Mn(R) mid A M = M A
Queremos mostrar que U é um subespaço de Mn(R). Para isso precisamos verificar três propriedades:
  1. o elemento zero de Mn(R) pertence a U,
  2. U é fechado sob soma,
  3. U é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que a matriz zero, denotada por 0, pertence a U. Como a multiplicação por zero satisfaz
0cdot M = 0 = Mcdot 0,
segue que 0 M = M0, logo 0in U.

Passo 3

Agora tomemos A,Bin U. Isso significa que
A M = M A e B M = M B
Queremos ver que A+B também comuta com M. De fato,
(A+B)M = A M + B M = M A + M B = M(A+B),
então A+Bin U.

Passo 4

Por fim, vejamos a multiplicação por escalar. Se Ain U e lambdainR, então
(lambda A)M = lambda,(A M) = lambda,(M A) = M,(lambda A),
logo lambda Ain U.

Passo 5

Como U contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que U é um subespaço de Mn(R).

Resposta

U é subespaço vetorial de Mn(R).

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